Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

1 . Considere a série

∑ n = 1 ∞ A 18 n + 501 B 18501 C 18 - 501 n

em que A , B e C são números reais fixados (constantes).

i . A série é geométrica? Justifique sua resposta.

i i . Se a série for geométrica, encontre condições sobre A , B e C para que a série seja convergente.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

A série geométrica de forma geral tem a seguinte cara:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Converge se r < 1 e diverge se r ≥ 1 .

Para saber se a série que temos no enunciado é geométrica, a gente consegue arrumar e ficar parecida com essa definição.

Passo 2

Vamos começar a mexer na nossa série, temos:

∑ n = 1 ∞ A 18 n + 501 B 18501 C 18 - 501 n

= ∑ n = 1 ∞ A 18 n A 50 1 B 18501 C 18 C - 501 n

= ∑ n = 1 ∞ A 501 B 18501 C 18 A 18 n C - 501 n

Agora vamos multiplicar e dividir o termo dentro da série por A 18 , assim:

∑ n = 1 ∞ A 501 B 18501 C 18 A 18 A - 18 A 18 n C - 501 n

A vantagem de fazer isso é que:

A - 18 A 18 n = A 18 - 1 A 18 n = A 18 n - 1

Assim temos que:

∑ n = 1 ∞ A 51 9 B 18501 C 18 A 18 n - 1 C - 501 n

Passo 3

Agora vamos dividir e multiplicar por C - 501 , então:

∑ n = 1 ∞ A 519 B 18501 C 18 A 18 n - 1 C - 501 n C 501 C - 501

Isso ajuda já que:

C 501 C - 501 n = C - 501 - 1 C - 501 n = C - 501 n - 1

Então temos que:

∑ n = 1 ∞ A 519 B 18501 C - 483 A 18 n - 1 C - 501 n - 1

= ∑ n = 1 ∞ A 519 B 18501 C - 483 A 18 C - 501 n - 1

= ∑ n = 1 ∞ A 519 B 18501 C - 483 A 18 C 501 n - 1

Comparando com a definição de série geométrica temos que:

a = A 519 B 18501 C - 483

r = A 18 C 501

Então essa série é geométrica.

Passo 4

Para que essa série seja convergente temos que:

A 18 C 501 < 1

⇒ A 18 < C 501

⇒ A 6 < C 167

Se A e C são > 1 , A e C pode ter qualquer valor desde que A ≤ C , Agora se 0 < A < 1 , então C ≥ 1 .

A constante B pode ter qualquer valor, já que ele só faz parte do parâmetro a e ele não contribui para a convergência da série.

Resposta

i . A série é geométrica.

i i . Explicado acima.

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