Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

Determine a soma da série geométrica

∑ n = 1 ∞ 2 3 n

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema deu uma série geopmétrica e nos pediu qual é a soma dela

Como assim soma de infinitos números? Sim, quando temos uma série geométrica, nossa querida e antiga progressão geométrica que aprendemos no colégio (PG para os íntimos...), de razão q < 1 , então a soma dos infinitos termos é um número finito!

Temos até uma fórmula para isso! Saca só:

s ∞ = a 1 1 - q

Onde o a 1 é o primeiro termo da série e q é a razão, ou seja, é o fator que vai multiplicar cada termo para achar o próximo.

A ideia aqui é abrir um pouco o somatório para saber quem são a 1 e q para aplicar essa fórmula

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

Nossa série é:

∑ n = 1 ∞ 2 3 n

Abrindo alguns termos temos (é só ir colocando o n = 1 ,   2,3 … e ir somando os termos)

∑ n = 1 ∞ 2 3 n = 2 3 1 + 2 3 2 + 2 3 3 + … = 2 3 + 4 9 + 8 27 + …

Notem que do primeiro termo para o segundo foi multiplicado por um fator de 2 / 3 , do segundo para o terceiro 2 / 3 , assim como do terceiro para o quarto...

Então achamos a nossa PG!

2 3 + 4 9 + 8 27 + … ⏝ P G   d e   r a z ã o   q = 2 / 3

Assim a soma de todos esses valores será a soma da PG infinita de razão q = 2 / 3 e primeiro termo a 1 = 2 / 3 !

Passo 3

Agora vamos para a soma da PG

S ∞ = a 1 1 - q

Como a 1 = 2 / 3 e q = 2 / 3 agora é só jogar esses valores na fórmula e correr para o abraço:

S ∞ = 2 / 3 1 - 2 3 = 2 / 3 1 3

S ∞ = 2 3 . 3 1 = 2

Então a soma da sequência é 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

3

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