Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

Calcule a soma de

9 10 + 9 100 + 9 1000 + 9 10000 + …  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência de números (sequência infinita) e nos pediu para calcular a soma...

Mas como assim a soma de infinitos números?

Claro! Isso só acontece quando temos uma série geométrica! Ou como você aprendeu no colégio: uma PG! Nossa querida progressão geométrica está de volta!

A soma de uma PG infinita (sei que ela é infinita pelos “ ” no final do último termo dado, tá?) é dada por uma fórmula bem simpática até:

S ∞ = a 1 1 - q

Essa fórmula a gente deduz lá em séries geométricas para você, mas aqui só vou pegar a fórmula mesmo, para facilitar a vida!

Nessa fórmula temos o a 1 que é o primeiro termo da sequência e q é a razão; ou seja, q é o número que a gente vai multiplicando a n para encontrar o próximo número a n + 1

A ideia é encontrar tanto a 1 quanto q na nossa sequência e aplicar essa fórmula!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

A sequência de números dada foi

9 10 + 9 100 + 9 1000 + 9 10000 + …  

Notem que do primeiro termo para o segundo foi multiplicado por um fator de 1 / 10 , do segundo para o terceiro 1 / 10 , assim como do terceiro para o quarto...

Então achamos a nossa PG!

9 10 + 9 100 + 9 1000 + 9 10000 + … ⏝ P G   d e   r a z ã o   q = 1 / 10

Assim a soma de todos esses valores será a soma da PG infinita de razão q = 1 / 10 e primeiro termo a 1 = 9 / 10 !

Passo 3

Agora vamos para a soma da PG

S ∞ = a 1 1 - q

Como a 1 = 9 / 10 e q = 1 / 10 agora é só jogar esses valores na fórmula e correr para o abraço:

S ∞ = 9 10 1 - 1 / 10 = 9 10 9 10

S ∞ = 9 10 . 10 9 = 1

Então a soma da sequência é 1

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1

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