Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

Calcule a soma de

4 - 8 3 + 16 9 - 32 27 + …

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência de números (sequência infinita) e nos pediu para calcular a soma...

Mas como assim a soma de infinitos números?

Claro! Isso só acontece quando temos uma série geométrica! Ou como você aprendeu no colégio: uma PG! Nossa querida progressão geométrica está de volta!

A soma de uma PG infinita (sei que ela é infinita pelos “ ” no final do último termo dado, tá?) é dada por uma fórmula bem simpática até:

S ∞ = a 1 1 - q

Essa fórmula a gente deduz lá em séries geométricas para você, mas aqui só vou pegar a fórmula mesmo, para facilitar a vida!

Nessa fórmula temos o a 1 que é o primeiro termo da sequência e q é a razão; ou seja, q é o número que a gente vai multiplicando a n para encontrar o próximo número a n + 1

A ideia é encontrar tanto a 1 quanto q na nossa sequência e aplicar essa fórmula!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

A sequência de números dada foi

4 - 8 3 + 16 9 - 32 27 + …

Notem que do primeiro termo para o segundo foi multiplicado por um fator de - 4 / 3 . Mas do segundo para o terceiro - 2 / 3 , assim como do terceiro para o quarto...

Se colocarmos o 2 em evidência vamos ter o seguinte:

2 2 - 4 3 + 8 9 - 16 27 + …

E agora dá uma olhadinha com mais carinho para os termos dentro dos parênteses

Do primeiro (que agora é o 2) para o segundo temos um fator multiplicativo de - 2 / 3 , que se repete do segundo para o terceiro, do terceiro para o quarto e podemos dizer assim por diante

Então achamos a nossa PG! Ela está multiplicada por um fator 2!

2 . 2 - 4 3 + 8 9 - 16 27 + … ⏝ P G   d e   r a z ã o   q = - 2 3

Assim a soma desses valores será a soma da PG infinita de razão q = - 2 / 3 e primeiro termo a 1 = 2 , multiplicada por 2!

Passo 3

Agora vamos para a soma da PG

S ∞ = a 1 1 - q

Como a 1 = 2 e q = - 2 / 3 agora é só jogar esses valores na fórmula e correr para o abraço:

S ∞ = 2 1 - - 2 3 = 2 1 + 2 3 = 2 5 3

S ∞ = 2 . 3 5 = 6 5

Passo 4

Com a soma da PG vamos voltar à nossa sequência

4 - 8 3 + 16 9 - 32 27 + … = 2 . 2 - 4 3 + 8 9 - 16 27 + … ⏝ P G   d e   r a z ã o   q = - 2 3

= 2 . 6 5 = 12 5 = 2,4

Então a soma da sequência é 2,4

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

2,4

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