Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

4) Usando série geométrica, expresse as dízimas periódicas abaixo como o quociente entre dois inteiros

a) 2,58585858 …

Passo 1

Falaaa.. tudo bem?

Nessa questão vamos expressar as dízimas periódicas como o quociente entre dois inteiros, ou seja, na forma de uma fração, usando série geométrica.

Lembrando que série geométrica é aquela que tem a cara:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a + a r + a r 2 + …

E quando r < 1 , podemos expressar a sua soma como:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

Passo 2

Repara que podemos reescrever a dízima como:

2,58585858 … = 2 + 0,58 + 0,0058 + 0,000058 + …

= 2 + 58 100 + 58 100 2 + 58 100 3 + …

Depois do primeiro termo, temos uma série geométrica com a = 58 100 e r = 1 100 .

Então podemos calcular quanto essa soma depois do primeiro termo vai dar, né?

58 100 + 58 100 2 + 58 100 3 + … = a 1 - r

= 58 100 1 - 1 100

= 58 100 100 - 1 100

= 58 99

Voltando pra dízima:

2,58585858 … = 2 + 58 99

Fazendo o mmc:

= 2 99 + 58 99

= 256 99

Resposta

256 99

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