Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

2) Quais das séries convergem e quais divergem? Se uma série convergir, calcule a sua soma.

b) ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ⋅ 5 2 n

Passo 1

Falaaa... nessa questão vamos dizer se a série converge ou diverge. Se convergir, calculamos a soma.

Pra verificar se uma série converge ou diverge, primeiro verificamos se ela se encaixo numa série geométrica:

�� n = 1 ∞ a x n - 1 = a + a r + a r 2 + …

Se r < 1 , a série geométrica é convergente e sua soma é dada por:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

Se r ≥ 1 , a série geométrica é divergente.

Maaas se a série não for geométrica, usamos a definição padrão que é: Dada uma série:

∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + … + a n

E sua soma:

s n = ∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + … + a n

Se s n for convergente e lim n → ∞ ⁡ s n = s   existir como um número real, então a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente. O número s é a soma da série.

Caso contrário, a série é divergente.

Passo 2

Nessa já temos o somatório montado, então só precisamos deixar ela com a cara da série geométrica...

Queremos que apareça x - 1 nos expoentes, né?

Se reescrevermos, então, como:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ⋅ 5 2 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 2 - 1 n - 1 ⋅ 5 2 ⋅ 2 n - 1

Como - 1 2 = 1 :

= ∑ n = 1 ∞ 5 2 ⋅ - 1 2 n - 1

E daí temos uma série geométrica com:

a = 5 2

E com:

r = - 1 2

Como r < 1 , então série é convergente.

Passo 3

Para calcular a soma, usamos:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

∑ n = 1 ∞ 5 2 ⋅ - 1 2 n - 1 = 5 2 1 - - 1 2

= 5 2 1 + 1 2

= 5 2 3 2

= 5 3

Resposta

Convergente

Soma = 5 3

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