Exercícios Resolvidos de Série geométrica

Determine o valor de x para que

1 + e x + e 2 x + e 3 x + e 4 x + … = 2

Passo 1

Vamos começar olhando para aquela série que ele deu

1 + e x + e 2 x + e 3 x + e 4 x + …

Repara que essa série tem o termo geral sendo

a n = e x n

Isso porque cada parcela da soma que aparece ali é a anterior vezes e x

Essa série é uma série geométrica, com r = e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que vimos que essa série é uma série geométrica, já vimos que

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r

Na nossa série vamos ter

1 + e x + e 2 x + e 3 x + e 4 x + … = ∑ n = 0 ∞ e x n = 1 1 - e x

Opa, agora temos o valor daquela soma infinita, podemos ter algo com cara de equação aqui

Passo 3

Vamos resolver a equação que apareceu

1 + e x + e 2 x + e 3 x + e 4 x + … = 1 1 - e x = 2

Vai ser

1 1 - e x = 2

Multiplicando cruzado

1 = 2 - 2 e x

2 e x = 1

e x = 1 2

x = ln ⁡ 1 2

Resposta

x = ln ⁡ 1 2

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