Exercícios Resolvidos de Série geométrica

UNICAMP - Cálculo 3 - P2 2011.1 Santos - 4b

( b )   Calcule a soma da série:

∑ n = 2 ∞     3   5 n + 1 + π   7 n - 2 8 n - 1

Passo 1

Nós temos que calcular a seguinte soma

S = ∑ n = 2 ∞     3   5 n + 1 + π   7 n - 2 8 n - 1

O somatório desse jeito é difícil de analisar, então vamos dar uma ajeitada nele para facilitar nosso cálculo.

Uma dica, é deixar a variável em função do menor expoente. Note que o somatório começa em n = 2 e o menor expoente nos termos do numerador e denominador é n - 2 . Então vamos deixar os outros expoentes com n - 2 também, beleza?

S = ∑ n = 2 ∞     3 .   5 n - 2 . 5 3 + π .   7 n - 2 8 n - 2 . 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Seguindo, vamos combinar as duas parcelas do numerador com o denominador e, assim, criar dois somatórios. Cuidado com as constantes multiplicando cada um deles!

S = ∑ n = 2 ∞     3 .   5 n - 2 . 5 3 8 n - 2 . 8 + π .   7 n - 2 8 n - 2 . 8

S = ∑ n = 2 ∞     3 .   5 3 8 . 5 8 n - 2 + π 8 . 7 8 n - 2

S = 125 3 8   ∑ n = 2 ∞ 5 8 n - 2     + π 8   ∑ n = 2 ∞ 7 8 n - 2    

Passo 3

Agora, basta fazer a mudança no índice do somatório: se n começa em 2 , então n - 2 começa em 0 . S = 125 3 8   ∑ n - 2 = 0 ∞ 5 8 n - 2     + π 8   ∑ n - 2 = 0 ∞ 7 8 n - 2    

Trocando n - 2 por k :

S = 125 3 8   ∑ k = 0 ∞ 5 8 k     + π 8   ∑ k = 0 ∞ 7 8 k    

Repara que chegamos em duas séries geométricas. Ambas tem razão menor que 1 e, portanto, são convergentes. Temos também que a soma de uma serie geométrica é dada por,

∑ k = 0 ∞ r k = 1 1 - r  

Substituindo ficamos,

S = 125 3 8 1 1 - 5 / 8 + π 8 1 1 - 7 / 8

S = 125 3 8 8 3   + π 8 8

S = 125 3 3   + π

Resposta

S = 125 3 3   + π

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