Exercícios Resolvidos de Série geométrica

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.1 – 1a

Diga se a série abaixo converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o valor da soma.

∑ n = 0 ∞ - 3 n + 1 π n

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever essa série de uma forma que a gente visualize melhor uma maneira de estudar sua convergência. Repara só:

∑ n = 0 ∞ - 3 n + 1 π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 n - 3 π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 - 3 n π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 - 3 π n

Chamando - 3 π = r , vamos olhar pra essa série da seguinte maneira:

∑ n = 0 ∞ - 3 r n

Quem é essa série?? Exatamente ela, a série geométrica!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já identificamos nossa série, qual o critério para que ela convirja?

r < 1

Passo 3

r = - 3 π = 3 π

Não sabemos o valor exato de π , mas sabemos que ele é um pouco maior que 3, então

r < 1

Ótimo, a série é convergente!

Passo 4

Agora ele quer o valor da soma da série. Basta aplicar nossa formulinha né?

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ - 3 - 3 π n = - 3 1 1 - - 3 π = - 3 1 π + 3 π = - 3 π π + 3

Resposta

A   s é r i e   c o n v e r g e   e   S = - 3 π π + 3

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