Exercícios Resolvidos de Série geométrica

USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 12

Seja a n a sequência numérica definida por a 0 = 1 e a n + 1 = 1 2 a n + 1 . Considere as seguintes afirmações:

(I) a n é sequência monótona crescente.

(II) a n é limitada superiormente por 3 .

(III) lim n → ∞ ⁡ a n = 3 .

Podemos afirmar que:

a) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.

c) Todas as afirmações são verdadeiras.

d) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

e) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 1

Fala galera, bora fazer uma questão de prova da POLI!

Essa questão é sobre uma sequência recursiva, dada por

a 0 = 1           e           a n + 1 = 1 2 a n + 1

Para ter uma noção do que está acontecendo, vamos ver como se comportam os primeiros termos da sequência:

a 0 = 1

a 1 = 1 2 ⋅ 1 + 1 = 3 2 = 1.5

a 2 = 1 2 ⋅ 3 2 + 1 = 7 4 = 1.75

a 3 = 1 2 ⋅ 7 4 + 1 = 15 8 = 1.875

a 4 = 1 2 ⋅ 15 8 + 1 = 31 16 = 1,9375

Note que a sequência parece ser crescente. Note que a diferença entre os termos também vai diminuindo:

a 1 - a 0 = 1 2

a 2 - a 1 = 7 4 - 3 2 = 1 4

a 3 - a 2 = 15 8 - 7 4 = 1 8

a 4 - a 3 = 31 16 - 15 8 = 1 16

Note que somos levados a crer que

a n - a n - 1 = 1 2 n

O incremento entre cada termo vai ficando cada vez menor, mas sempre é positivo. Com isso, temos que

a n > a n - 1

Portanto a série é monótona crescente: a afirmativa (I) é correta!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As afirmativas (II) e (III) nós vamos discutir em conjunto.

Sabemos que o incremento entre o termo n - 1 e o termo n é 1 / 2 n . Assim, como o primeiro termo é a 0 = 1 , os termos seguintes são dados por

a 1 = a 0 + 1 2

a 2 = a 1 + 1 4 = a 0 + 1 2 + 1 4

a 3 = a 2 + 1 8 = a 0 + 1 2 + 1 4 + 1 8

Seguindo essa lógica:

a n = a 0 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + … + 1 2 n = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + … + 1 2 n

Quando n → ∞ , isso vira uma soma dos termos de uma PG infinita com razão 1 / 2 , que é dada por

a n → ∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 1 - 1 2 = 2

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ a n = 2

Antes de continuar, deixa eu esclarecer algumas coisas que podem te confundir. A primeira é: a n é uma sequência, não uma série! Todavia, estudando essa sequência nós percebemos que cada termo da sequência é uma soma de termos de uma PG de razão 1 / 2 . Com isso, vimos que o termo geral dessa sequência tende a soma de uma PG infinita (série geométrica) quando n → ∞ . Repetindo mais uma vez: a n é uma sequência, não uma série! A série geométrica apareceu no meio do problema quando queríamos avaliar lim n → ∞ ⁡ a n , apenas isso!

Passo 3

Vimos que

lim n → ∞ ⁡ a n = 2

Isso já torna a afirmativa (III) falsa pois ela diz que esse limite deveria ser 3 . Agora vamos olhar com bastante calma a afirmativa (II). Ela diz que a n é limitada superiormente por 3 . Você deve estar achando que ela falsa, já que ela devia ser limitada superiormente por 2 , né?

De fato, ela é limitada superiormente por 2 , mas também é por 3 , por 4 , por 10 23 . Ela é limitada superiormente por qualquer número maior ou igual a 2 . Pense assim, se um número é menor que k , ele é menor que qualquer número que seja maior que k . O mesmo vale aqui: se a sequência é limitada superiormente por 2 , ela também será limitada superiormente por qualquer número maior que 2 .

Portanto, apesar da afirmativa (III) ser falsa, a afirmativa (II) é verdadeira! Com isso, como (I) e (II) são verdadeiras, a resposta está na alternativa A!!!

Resposta

Alternativa A.

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