Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

18 . Quando giramos o gráfico de uma função de classe C 1 , y = f x ≥ 0 , a ≤ x ≤ b , em torno do eixo 0 x , obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

(para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1 , seção 8.2 )

Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno 0 x do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.

a f x = x ,   0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Vamos aplicar a fórmula, ok?

Para isso, precisamos de f ' ( x ) :

f x = x

f ' x = 1 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Colocando as informações na integral:

S = ∫ 0 1 2 π x 1 + 1 2 x 2 d x = ∫ 0 1 2 π x 1 + 1 4 x d x = 2 π ∫ 0 1 x + 1 4 d x

Aqui faremos uma substituição simples, chamando u = x + 1 4 → d u = d x . Quando x = 0 → u = 1 4 ; x = 1 → u = 5 4

2 π ∫ 0 1 x + 1 4 d x = 2 π ∫ 1 4 5 4 u d u = 4 3 π u 3 1 4 5 4 = π 6 5 5 - 1

Resposta

S = π 6 5 5 - 1

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