Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

A região sob o gráfico de y = sin 3 ⁡ ( x ) no intervalo [ 0 , π ] é girado em torno do eixo y . Encontre o volume do sólido gerado.

Passo 1

Eaew, tudo certinho com você hoje?

E agora, meu senhor? Como que faço uma rotação de um gráfico de sin 3 ⁡ ( x ) em torno do eixo y ?? Não se desespere jovem padawan! Temos que fazer o seguinte:

V = ∫ a b 2 π x h ( x ) d x

Conhecido como método das cascas cilíndricas! A região que iremos rotacionar é a seguinte:

Após rotacionar obtemos algo como isso:

Agora só precisamos utilizar o esquema acima para calcular o nosso volume! Beleza?

Passo 2

Primeiro, podemos identificar que o raio é sempre o valor escolhido em r = x e também que a altura do cilindro escolhido é a própria função   f x = y = sin 3 ⁡ ( x ) . Desse jeitinho aqui:

V = ∫ 0 π 2 π x sin 3 ⁡ x d x

Agora o problema se torna calcular essa integral (Admita que melhorou um pouquinho!!! Ahahahah) E nós vamos resolver ela por partes!! Bora lá!

Passo 3

Vamos escolher como nosso u = x e o nosso d v = sin 3 ⁡ ( x ) , de forma que temos:

d u = d x

E também:

v = ∫ sin 3 ( x ) ⁡ d x

Aiai... mas e agora? Para obter este v precisamos utilizar algumas relações trigonométricas! Vem comigo!

Passo 4

Vamos utilizar:

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Obtendo:

v = ∫ sin ⁡ x ( 1 - cos 2 ⁡ ( x ) ) d x = ∫ sin ⁡ ( x ) d x - ∫ sin ⁡ x cos 2 ⁡ x d x         ( 1 )

Quase lá agora! A primeira integral em cima é só olhar em seu formulário e lembrar que:

∫ sin ⁡ ( x ) =   - cos ⁡ x           ( 2 )

Lembre que a constante de integração pode ser ignorada por enquanto já que vamos aplicar os limites de integração ao finalizar a integração por partes! Belezinha?

Passo 5

Agora vamos para a segunda integral em (1), vamos utilizar a substituição u = cos ⁡ ( x ) e d u =   - sin ⁡ ( x ) d x , ou seja, temos:

∫ sin ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) d x = - ∫ u 2 d u

Lembrando que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Temos:

- ∫ u 2 d u =   - u 3 3 = - cos 3 ⁡ x 3           ( 3 )

Vamos substituir isso na nossa integral! Hehehehe

Passo 6

Colocando (2) e (3) em (1), temos:

v = - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3             ( 4 )

Se lembrarmos que a integração por partes é dada da seguinte forma:

∫ a b u d v = u v ​ a b - ∫ a b v d u

Temos:

V = ∫ 0 π 2 π x sin 3 ⁡ x d x = →

→ = 2 π x ( - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 ) ​ 0 π + 2 π ∫ 0 π cos ⁡ ( x ) d x - 2 π 3 ∫ 0 π cos 3 ⁡ x d x           ( 5 )

Vamos continuar trabalhando ela um pouquinho! Respira e bora lá!

Passo 7

A segunda integral pode ser obtida utilizando:

∫ 0 π cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x ) ​ 0 π = 0

Mas, a última integral que sobrou em (5) requer que utilizemos que cos 2 ⁡ ( x ) = 1 - sin 2 ⁡ ( x ) e uma mudança de variáveis! Devagarzinho saí! Vamos que vamos!

Passo 8

Temos então:

∫ 0 π cos 3 ⁡ x d x = ∫ 0 π cos ⁡ x 1 - sin 2 ⁡ x d x = ∫ 0 π cos ⁡ x d x - ∫ 0 π cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x

Acabamos de ver que a primeira integral dá zero! Ótimo!!! Para a segunda podemos fazer a substituição u = sin ⁡ ( x ) e d u = cos ⁡ ( x ) d x , de forma que temos:

∫ 0 π cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = ∫ u 0 u π u 2 d u

Como fizemos anteriormente, temos que:

∫ u 0 u π u 2 d u = u 3 3 ​ u 0 u π = sin 3 ⁡ x 3 ​ 0 π = 0

Como a maioria das coisas zeraram! Sobra só um restinho para se calcular no nosso volume! Vem comigo!

Passo 9

Temos então que:

V = 2 π x - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 ​ 0 π

Como temos que cos ⁡ ( π ) = - 1 e cos ⁡ ( 0 ) = 1 , temos:

V = 2 π 2 - - 1 + - 1 3 3 - 0 = 2 π 2 1 - 1 3 = 4 π 2 3

Acabou... meu deus senhor! Aleluia!! Te vejo na próxima!

Resposta

V = 4 π 2 3

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