Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

21 - Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

a) y = x 3 9 , com 0 ≤ x ≤ 2 , eixo x .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que obter a área da superfície gerada a partir da rotação da função y = x 3 9 , em torno do eixo x no intervalo de x = 0 a x = 2 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Temos que obter a área da superfície, ou seja, a área lateral do sólido que é formado.

A área lateral, para casos em que a rotação acontece no eixo x , a fórmula genérica para obter a área lateral, é dada por

A L = 2 π ∫ x 0 x 1 y 1 + d y d x 2 d x

Onde a integral de 1 + d y d x 2 nos dá o comprimento/altura da área e y o raio de cada pedaço. Como por exemplo na área lateral do cilindro 2 π r h !

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Agora para calcular a área lateral da superfície, vamos começar calculando a derivada de y com relação a x , ou seja

d y d x = d x 3 9 d x

Pelo método de derivação polinomial, temos que

d y d x = 3 x 3 - 1 9 = x 2 3

Substituindo d y d x , x 0 , x 1 e y em A L , temos

A L = 2 π ∫ 0 2 x 3 9 1 + x 2 3 2 d x

A L = 2 π ∫ 0 2 x 3 9 1 + x 4 9 d x

A L = 2 π ∫ 0 2 x 3 9 x 4 + 9 9 d x

Como a b = a b , então

A L = 2 π ∫ 0 2 x 3 9 x 4 + 9 9 d x

9 é igual a 3 2 , logo

A L = 2 π ∫ 0 2 x 3 9 x 4 + 9 3 2 d x = 2 π ∫ 0 2 x 3 9 x 4 + 9 3 d x

A L = 2 π ∫ 0 2 x 3 x 4 + 9 27 d x

Podemos tirar 1 27 da integral...

A L = 2 π 27 ∫ 0 2 x 3 x 4 + 9 d x

Sacou? 🤩

Passo 3

Vamos calcular a integral de x 3 x 4 + 9 fazendo uma substituição de variáveis.

Vamos chamar x 4 + 9 de u e consequentemente, os limites de integração serão

x = 2 → u 1 = 2 4 + 9

u 1 = 25

x = 0 → u 0 = 0 4 + 9

u 0 = 9

Também temos que mudar d x para d u , fazendo

d u d x = d x 4 + 9 d x = 4 x 4 - 1 + 9 0

d u d x = 4 x 3

Isolando x 3 d x , temos

d u 4 = x 3 d x

Aplicando essas substituições em ∫ 0 2 x 3 x 4 + 9 d x ...

∫ 0 2 x 3 x 4 + 9 d x → ∫ 9 25 u 4 d u

Colocando 1 4 para fora da integral e calculando a integral de u como u 1 2 pelo método de integração polinomial

1 4 ∫ 9 25 u 1 2 d u

∫ u 1 2 d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 = u 3 2 3 2

∫ u 1 2 d u = 2 u 3 2 3

Aplicando os limites de integração

∫ 9 25 u 1 2 d u = 2 25 3 2 3 - 2 9 3 2 3 = 250 3 - 18

∫ 9 25 u 1 2 d u = 196 3

Entendeu tudo? 🤔

Passo 4

Portanto se A L = 2 π 27 ∫ 0 2 x 3 x 4 + 9 d x

E ∫ 0 2 x 3 x 4 + 9 d x é igual a 1 4 ∫ 9 25 u 1 2 d u , então

A L = 2 π 27 · 1 4 ∫ 9 25 u 1 2 = 2 π 27 · 1 4 · 196 3

A L = 98 π 81

Ou seja, a área total da superfície formada pela revolução da curva y = x 3 / 9 , entre x = 0 a x = 2 , em torno do eixo x , resulta em 98 π 81 unidades!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

A L = 98 π 81

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