Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

l) A = { x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 3 } .

Passo 1

Faaaaala galera, quem tá animado pra resolver essa questãooo?

Hahaha! Vem comigo que vai dar certo 😊

Aqui temos um conjunto A que é dado no enunciado em uma linguagem bem matemática:

A = { x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 3 }

Entendi nada, quem que é A mesmo? hahaha

Calma lá! Basicamente, ela é o conjunto de todos os pontos ( x , y ) que estão no intervalo em x de 0 a 1 , e em y são limitados pelas curvas:

{ y = 3   y = x  

Sacaram? Fica tranquilo, uma das coisas que precisamos fazer é desenhar a região A . Aí vai ficar mais claro isso que estamos comentando.

Além disso, também precisamos calcular a sua área. Como se trata de uma região limitada por duas curvas, a ideia é usar uma operação entre áreas, fazendo:

A A = A α - A β

onde A A 1 e A A 2 são áreas escolhidas convenientemente entre uma curva e o eixo x . Ou seja:

A α =   ∫ a b | f α x | d x

Sacaram?

Então bora lá!

Passo 2

Vamos começar desenhando a nossa região A . Ela é limitada pelas curvas:

{ y = 3   y = x  

y = 3 é uma reta horizontal que passa por ( 3,0 ) .

y = x é uma curva com a seguinte cara:

Assim, como a nossa região A está limitada em x no intervalo 0,1 , plotando tudo no mesmo gráfico, temos:

Show! Conseguiram entender quem é a região A ?

Passo 3

Bom, continuando, vamos agora calcular a sua área.

Basicamente, precisamos fazer uma subtração entre a área abaixo da reta y = 3 e da curva y = x .

Como comentamos no passo 1 , a área abaixo dessas curvas e acima do eixo x , vale:

A A 1 =   ∫ 0 1 3 d x

A A 2 = ∫ 0 1 x d x

onde A A 1 é a área abaixo de y = 3 e A A 2 é a área abaixo de y = x .

Assim, podemos dizer que:

A A = A A 1 - A A 2

Vamos então calculá-las!

A A 1 =   ∫ 0 1 3 d x

Usando que:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Vem:

A A 1 = 3 x 0 1

= 3

Já para A A 2 , temos:

A A 2 = ∫ 0 1 x d x =   ∫ 0 1 x 1 2 d x

Usando novamente a regra de integração monomial:

A A 2 = x 3 2 3 2 0 1

= 2 3 ⋅ 1 3 2

∴ A A 2 = 2 3

Juntando as duas áreas, temos:

A A = A A 1 - A A 2

=   3 - 2 3

Ou seja:

A A = 7 3

E é isso gente, terminamos!! Muito obrigado pela atenção, tmj! 😊

Resposta

7 3

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