Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

n) A é o conjunto de todos os pontos ( x ,   y ) tais que x 2 + 1 ≤ y ≤ x + 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um conjunto de pontos ( x ,   y ) que estão entre a reta x + 1 e a parábola x 2 + 1 , e pediu pra gente desenhar esse conjunto e calcular a área dele. Por onde a gente começa?

Vamos começar desenhando a parábola y = x 2 + 1 , acrescentar a reta y = x + 1 , encontrar os pontos de intersecção das duas curvas e calcular a área requerida usando uma integral definida.

Então, vamos lá!

Passo 2

A nossa parábola y = x 2 + 1 está deslocada em uma unidade para cima, então a gente tem isso aqui:

Beleza, agora vamos plotar a reta y = x + 1 , que também passa por 1 no eixo y quando x = 0 . Assim,

Repara que as nossas curvas se encontram em x = 0 e em x = 1 no gráfico. A gente também pode verificar isso fazendo:

x 2 + 1 = x + 1

x 2 - x = 0

x x - 1 = 0

Dessa forma,

x = 0   o u     x = 1

Então, temos nossos pontos de interseção.

Passo 3

Agora podemos calcular nossa área A integrando a nossa região de x = 0 até x = 1 . Repare que a reta está por cima da parábola nesse intervalo, então vamos fazer x + 1 - ( x 2 + 1 ) na integral. Vamos lá!

Montando a integral:

A = ∫ 0 1   x + 1 - ( x 2 + 1 ) d x

A = ∫ 0 1 x - x 2   d x

Integrando, temos:

A = x 1 + 1 1 + 1 - x 2 + 1 2 + 1 0 1

A = x 2 2 - x 3 3 0 1

Substituindo os intervalos de integração:

A = 1 2 - 1 3 - 0 2 - 0 3

A = 1 2 - 1 3

A = 1 6  

E encontramos nossa área!

Até a próxima, galera! 😉

Resposta

A = 1 6  

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