Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

( d )   y = 3 x - 2 ; 2 ≤ x ≤ 6 ; em torno do eixo x .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós temos que determinar a área da superfície de revolução gerada pela curva

y = 3 x - 2 ; 2 ≤ x ≤ 6

quando rotacionada em torno do eixo x . Por sorte, temos uma formulinha que faz exatamente isso, é a seguinte

A = ∫ x 0 x f 2 π f ( x ) 1 + [ f ' ( x ) ] 2 d y

O enunciado nos dá tudo que precisamos para resolver o problema! Vamos começar!

Passo 2

A derivada de nossa função é bastante simples, temos uma soma de exponenciais, portanto

d f d x = f ' [ x ] = 1 2 3 x - 2

se elevarmos ao quadrado, temos que

[ f ' ( x ) ] 2 = 9 4 1 x - 2

Substituindo então em nossa integral, temos que

A = 2 π ∫ 2 6 3 x - 2 [ 1 + 9 4 1 x - 2 ] d x = 6 π ∫ 2 6 x - 2 + 9 4 d x

ou simplesmente

A = 6 π ∫ 2 6 x + 1 4 d x

Essa integral é bastante direta! Para simplificar vamos fazer uma substituição simples (mas nem é necessário), vamos com calma! Vem comigo!

Passo 3

Se fizermos a substituição

u = x + 1 4 e d u = d x

podemos deixar a nossa integral com uma carinha mais simpática

A = 6 π ∫ u ( 2 ) u ( 6 ) u   d u

como temos que u ( 2 ) = 9 4 e u ( 6 ) = 25 4 , de forma que temos que resolver

A = 6 π ∫ 9 / 4 25 / 4 u   d u = 6 π [ u 3 / 2 3 / 2 ] | 9 / 4 25 / 4

expandindo os índices, temos que

A = π 32 [ 125 - 27 ] = 98 π 32

ou simplesmente

A = 49 π 16

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 49 π 16

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