Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Calcule a área da elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 .

Passo 1

Oiiie, tudo bem contigo? Bora que bora resolver mais uma?

Esse enunciado nos dá a função de uma elipse e pede pra calcularmos a área no seu interior.

A primeira coisa que seria interessante lembrar é que através de uma integração é possível calcular a área sob o gráfico de uma função! Mas neste caso, qual seria nossa função? Saca só:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

y 2 b 2 = 1 - x 2 a 2 →

f x = y = b 1 - x 2 a 2

Vamos usar essa função para calcular a área!

Passo 2

Para calcular a área temos que calcular a seguinte integral:

A 4 = ∫ 0 a b 1 - x 2 a 2 d x         ( 1 )

Isso nos dará um quarto da área necessária, pois estamos utilizando os limites de integração do centro da elipse 0 até a , saca só o gráfico desta função:

Para o gráfico, escolhi valores arbitrários de a e b , mas não precisamos para resolver a questão! Vamos precisar trabalhar um pouquinho a equação (1)! Vamos lá!

Passo 3

Uma maneira de fazer isso é através de uma mudança de variáveis da forma:

x = a sin ⁡ ( θ )

Para aplicar na equação (1), temos que calcular d x como:

d x =   acos ⁡ θ d θ

Além disso, precisamos de novos limites de integração, para o limite inferior temos:

0 = asin ⁡ θ →

θ = 0

Agora, para o limite superior:

a = asin ⁡ θ ��

sin ⁡ θ = 1 →

θ = π 2

Vamos aplicar isso na equação (1)! Bora bora!

Passo 4

Nossa integral fica então como:

A 4 = a b ∫ 0 π 2 1 - sin 2 ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) d θ           ( 2 )

Beleza! Vamos tentar resolver isso agora! Bora lá!

Passo 5

Vamos começar lembrando que sin 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1 , ou seja, 1 - sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ ( θ ) . Ou seja, a equação (2) fica como:

A = 4 a b ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ           ( 3 )

Podemos lembrar agora que:

cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

E a equação (3) fica então como:

A = 2 a b ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 2 a b ∫ 0 π 2 d θ + 2 a b ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ           ( 4 )

Quase lá! Agora só precisamos relembrar algumas coisinhas!

Passo 6

Lembrando as seguintes integrais:

∫ a b d x = x ​ a b = b - a

E, também que:

∫ a b cos ⁡ c θ = sin ⁡ ( c θ ) c ​ a b = 1 c sin ⁡ ( c b ) - sin ⁡ ( c a )

Usando isso em nossa equação (4), temos que:

A = 2 a b π 2 - 0 + 2 a b ( sin ⁡ π - sin ⁡ ( 0 ) )

Mas temos que sin ⁡ ( n π ) = 0 , e, portanto:

A = π a b  

Aí está! Esta é a área de nossa elipse! A questão foi isso!

Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

A = π a b

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