Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

k) A é o conjunto do plano limitado pela reta y = x , pelo gráfico y = x 3 , com - 1 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Oi gente, tudo bem?

Nesse item temos uma região A que é limitada por duas curvas:

y = x y = x 3           ,   - 1 ≤ x ≤ 1

Precisamos desenhar o seu esboço e também calcular a sua área.

Um ponto de dificuldade nesse exercício é que, quando usamos a integral para calcular área, estamos calculando a área entre uma curva e o eixo x . Mas, aqui precisamos calcular uma área entre duas curvas. O que podemos fazer?

Em geral, nesse tipo de problema a ideia é usar uma operação entre áreas, fazendo:

A A = A α - A β

onde A A 1 e A A 2 são áreas escolhidas convenientemente entre uma curva e o eixo x . Ou seja:

A α =   ∫ a b | f α x | d x

Sacaram?

Bom, essa vai ser a ideia principal. Então, vamos lá 😊

Passo 2

Começando pelo desenho da nossa região, temos que ela é limitada por: y = x y = x 3           ,   - 1 ≤ x ≤ 1

É importante calcularmos os pontos de intersecção entre essas duas curvas:

x 3 = x

x 3 - x = 0

x x 2 - 1 = 0

Logo:

x 1 =   - 1 x 2 = 0 x 3 = 1

Assim, entre - 1 e 0 , temos que y = x 3 é maior do que y = x . Para ver isso, podemos fazer um teste:

- 0,5 3 =   - 0,125 > - 0,5

Já entre 0 e 1 a relação se inverte, e y = x (uma reta) é maior do que y = x 3 (curva do monômio cúbico). Novamente:

0,5 3 = 0,125 <   0,5

Assim, esboçando a região temos:

onde a nossa região A é composta pela união de A 1 e de A 2 .

Passo 3

Beleza. Já pra calcular a área total vamos usar a ideia que comentamos no passo 1 . Primeiro, como A   é composta pela união de A 1 e de A 2 :

A A = A A 1 + A A 2

A A 1 é calculada pela subtração das áreas entre a reta y = x (em módulo x > x 3 ) e y = x 3 . Assim:

A A 1 =   ∫ - 1 0 - x d x - ∫ - 1 0 - x 3 d x

A A 1 =   ∫ - 1 0 x 3 d x - ∫ - 1 0 x d x

Usando que:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Vem:

A A 1 = x 4 4 - 1 0 - x 2 2 - 1 0

= - - 1 4 4 - - - 1 2 2

Logo:

A A 1 = 1 4

Novamente, para A A 2 calculamos pela subtração entre a área abaixo da reta y = x e a área abaixo da reta y = x 3 . Assim:

A A 2 =   ∫ 0 1 x d x - ∫ 0 1 x 3 d x

= x 2 2 0 1 - x 4 4 0 1

= 1 2 - 1 4

Logo:

A A 2 = 1 4

Por fim, juntando tudo, temos:

A A = A A 1 + A A 2

∴ A A = 1 4 + 1 4

A A = 1 2

Prontinhoo! Matamos mais uma 😊

Vamo simboraaa!!

Resposta

1 2

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