Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

p) A é o conjunto de todos os pontos ( x ,   y ) tais que x ≥ 0 e - x ≤ y ≤ x - x 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um conjunto de pontos ( x ,   y ) que estão entre a reta y = - x e a parábola y = x - x 2 , e pediu pra gente desenhar esse conjunto e calcular a área dele. Por onde a gente começa?

Vamos começar desenhando a parábola y = x - x 2 , acrescentar a reta y = - x , encontrar os pontos de intersecção das duas curvas e calcular a área requerida usando uma integral definida.

Então, vamos lá!

Passo 2

Galera, repara que na nossa parábola y = x - x 2 , quando x = 0 , y também é igual a 0 . Isso significa que ela passa pela origem. Agora, quando y = 0 , nós temos:

x - x 2 = 0

x 1 - x = 0

x = 0   o u   x = 1

Então, além do ponto ( 0,0 ) , curva também passa pelo ponto ( 1,0 ) . Ela tem concavidade virada pra baixo, porque o coeficiente do x 2 é negativo.

Com essas informações, a gente consegue plotar a curva:

Beleza, agora vamos plotar a reta y = - x , que tem uma inclinação negativa, então ela vai ser assim:

Repara que as nossas curvas se encontram em x = 0 e em algum outro ponto ali embaixo no gráfico. Mas a gente pode verificar isso fazendo:

x - x 2 = - x

- x 2 + 2 x = 0

Vamos calcular as raízes dessa equação pra encontrar os pontos de interseção.

Colocando x em evidência, temos:

x 2 - x = 0

Logo,

x = 0     o u     x = 2

Então, tudo certo, esses são nossos pontos de interseção e é nesse intervalo que nós vamos integrar para encontrar a área A .

Passo 3

Vamos montar nossa integral (sempre fazendo a curva que tá por cima menos a curva que tá por baixo no intervalo):

A = ∫ 0 2   x - x 2 - ( - x ) d x

A = ∫ 0 2 x - x 2 + x   d x = ∫ 0 2 2 x - x 2   d x

Integrando, temos:

A = 2 x 1 + 1 1 + 1 - x 2 + 1 2 + 1 0 2 = 2 x 2 2 - x 3 3 0 2

A = x 2 - x 3 3 0 2

Substituindo os intervalos de integração:

A = 2 2 - 2 3 3 - 0 2 - 0 3 3

A = 4 - 8 3

A = 4 3  

E encontramos nossa área!

Até a próxima, galera! 😉

Resposta

A = 4 3  

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