Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

d) A é o conjunto de todos ( x , y ) tais que 0 ≤ y ≤ 4 - x 2 .

Passo 1

Ooi gente, tudo bom?

Precisamos desenhar e calcular a área da região que representa o conjunto A . Pelo enunciado, essa região é composta por todos os pontos que obedecem a:

0 ≤ y ≤ 4 - x 2

Quando a região vem representado por desigualdades é legal olharmos cada uma delas separadamente.

0 ≤ y

Significa que nossa região é sempre não-negativa, ou seja, está acima do eixo x .

y ≤ 4 - x 2

É justamente a equação de uma parábola, ou seja, nossa região é representada pelos pontos abaixo da curva da parábola e acima do eixo x . Sacaram?

Então show. Vamos desenhar a região e depois usar a definição de integral pra calcular a sua área 😊

Passo 2

Bom, como vimos no passo 1 , nossa região que representa o conjunto A está abaixo da curva f x = 4 - x 2 e acima do eixo x .

A curva f x = y = 4 - x 2 é uma parábola, com raízes:

4 - x 2 = 0

4 = x 2

∴ x =   ± 2

Além disso, quando x = 0 , temos y = 4 . E, como o termo que multiplica x 2 é negativo, essa parábola está virada para baixo. Desenhando o seu esboço, temos:

Estamos quase lá! Como nossa região está acima do eixo x , podemos representá-la como:

Onde a nossa região Ω representa justamente o conjunto A 😊

Passo 3

Para calcular a área dessa região, basta usarmos a definição de integral:

A =   ∫ a b f x d x

Nesse caso, a curva f ( x ) vale:

f x = 4 - x 2

E, a região está no intervalo das raízes de f ( x ) , ou seja, - 2 ≤ x ≤ 2 . Logo:

A A =   ∫ - 2 2 4 - x 2 d x

Como a integral da soma é a soma das integrais:

A A =   ∫ - 2 2 4 d x - ∫ - 2 2 x 2 d x

Usando que:

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 a b

Vem:

A A = 4 x - 2 2 - x 3 3 - 2 2

= 4 ⋅ 2 - 4 ⋅ - 2 - 2 3 3 - - 2 3 3

= 16 - 16 3

Portanto:

A A = 32 3

Prontinho! Eaí, curtiram a solução? Responde Aí 😊

Resposta

32 3

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