Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

( b )   x = y 3 3 ; 0 ≤ y ≤ 1 ; em torno do eixo y .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós temos que determinar a área da superfície de revolução gerada pela curva

x = y 3 3 ; 0 ≤ y ≤ 1

quando rotacionada em torno do eixo y . Por sorte, temos uma formulinha que faz exatamente isso, é a seguinte

A = ∫ y 0 y f 2 π g ( y ) 1 + [ g ' ( y ) ] 2 d y

ou seja, precisamos ver os limites de integração (o problema muito bonzinho já nos deu) e calcular a derivada da função antes de aplicar a fórmula! Vamos lá!

Passo 2

A derivada de nossa função é bastante simples, temos uma soma de exponenciais, portanto

d g d y = g ' [ y ] = y 2

se elevarmos ao quadrado, temos que

[ g ' ( y ) ] 2 = y 4

Substituindo então em nossa integral, temos que

A = 2 π ∫ 0 1 y 3 3 1 + y 4 d y

Note que se derivarmos o que está dentro da raíz iremos obter o que está fora da raiz (a menos de uma constante), então podemos usar substituição simples! Vamos fazer isso!

Passo 3

Usando a substituição simples da forma

u = 1 + y 4 e d u = 4 y 3   d y

de forma que temos que

y 3 d y = 1 4 d u

e a nossa integral se torna

A = 2 π 12 ∫ u ( 0 ) u ( 1 ) u d u

em que u ( 0 ) = 1 e u ( 1 ) = 2 , de forma que precisamos apenas resolver

A = π 6 ∫ 1 2 u d u

Vamos que vamos terminar esse problema!

Passo 4

Fazendo a nossa integral, obtemos finalmente

A = π 6 [ u 3 / 2 3 / 2 ] | 1 2 = 2 π 18 [ 2 3 / 2 - 1 3 / 2 ]

ou simplesmente

A = π 9 [ 2 2 - 1 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = π 9 [ 2 2 - 1 ]

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