Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

e) A é o conjunto de todos ( x , y ) tais que 0 ≤ y ≤ | s e n   x | , com 0 ≤ x ≤ 2 π .

Passo 1

Oooi pessoal, tudo certinho?

Aqui temos um conjunto A , que basicamente é uma região no plano x y , que satisfaz a seguinte inequação:

0 ≤ y ≤ | s e n   x |

no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 π .

Precisamos desenhar essa região e calcular a sua área.

Vocês estão lembrados do significado da integral abaixo?

∫ a b | f x | d x

Ela é justamente a área entre a curva f ( x ) e o eixo x . É isso que vamos usar pra calcular a área da nossa região. Então, vamos lá!

Passo 2

Bom, como vimos no passo 1 , a nossa região é determinada pelas desigualdades:

0 ≤ y ≤ | s e n   x |

no intervalo de 0   a 2 π .

Então, bora esboçar o gráfico do s e n   x nesse intervalo e ver quais partes se enquadram na desigualdade.

Como na desigualdade:

y ≤ | s e n   x |

temos o módulo no s e n o , toda região no intervalo de 0 a 2 π obedece a:

0 ≤ y

Portanto, a região que representa a área A é composta pela união de A 1 e A 2 :

Prontinho, perfeito!

Passo 3

Agora precisamos calcular a área total dessa região.

Como vimos no passo 1 , a área entre uma curva e o eixo x é dada por:

∫ a b | f x | d x

Na região A 1 , temos f x ≥ 0 , logo:

A A 1 =   ∫ 0 π s e n   x   d x

Já na região A 2 , temos f x ≤ 0 , logo:

A A 2 =   ∫ π 2 π - s e n   x   d x

Logo, a área total de A , vale:

A A = A A 1 + A A 2

= ∫ 0 π s e n   x   d x     -     ∫ π 2 π s e n x   d x

Lembrando que a primitiva do s e n o é - c o s s e n o , temos:

A A = - cos ⁡ x 0 π - - cos ⁡ x π 2 π

= - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 - - cos ⁡ 2 π + cos ⁡ π

= - - 1 + 1 - - 1 + - 1

= 2 - - 2

Portanto:

A A = 4

Boaaaaa! Terminamos gente, vocês entenderam tudinho?É isso então, até a próxima 😊

Resposta

4

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