Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Dadas as superfícies S 1 e S 2 de equações 3 x 2 + y 2 - 4 z 2 = 1 e y = z 2 - 1 , respectivamente, obtenha uma parametrização da curva C formada pela interseção de S 1 com S 2 e que está localizada acima do plano z = 0 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Foram dadas duas superfícies descritas como S 1 → 3 x 2 + y 2 - 4 z 2 = 1 e S 2 → y = z 2 - 1 .

Com essas duas superfícies, temos que obter uma curva C gerada pela intersecção entre S 1 e S 2 que esteja acima do plano z = 0 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔🤔

Temos que encontrar uma forma de igualar S 1 e S 2 . Se isolarmos z em um lado das duas equações, temos um bom início, não acha?

Depois que encontrar essa equação, vamos tentar parametriza-la reescrevendo suas variáveis em um número menor de variáveis

Bora começar! 😎

Passo 2

Primeiro vamos isolar z da superfície S 1

3 x 2 + y 2 - 4 z 2 = 1

4 z 2 = 3 x 2 + y 2 - 1

z 2 = 3 x 2 + y 2 - 1 4

Isolando z da superfície S 2

y = z 2 - 1

z 2 = y + 1

Igualando as duas equações, temos

3 x 2 + y 2 - 1 4 = y + 1

3 x 2 + y 2 - 1 = 4 y + 4

3 x 2 + y 2 - 4 y = 5

3 x 2 + y - 2 2 = 9

Com isso, encontramos

3 x 2 9 + y - 2 2 9 = 1

x 2 3 + y - 2 2 9 = 1

A intersecção das duas superfícies gera uma elipse com o centro em 0,2 , a 2 = 3 e b 2 = 9

Interessante, não é? 😁

Passo 3

Agora, por fim, vamos parametrizar essa equação.

A parametrização de uma curva funciona como um ocultador de variáveis. No caso, temos duas variáveis na equação ( x e y ) então vamos reescreve-la como uma única variável só.

Se considerarmos x = t , temos

t 2 3 + y - 2 2 9 = 1

Vamos isolar y em um lado da igualdade

y - 2 2 9 = 1 - t 2 3

y - 2 2 = 9 - 9 t 2 3

y - 2 2 = 9 - 3 t 2

Tirando a raiz dos dois lados dado que a 2 = a , vamos obter

y - 2 2 = 9 - 3 t 2

y - 2 pode ser negativo ou positivo, então temos que considerar 9 - 3 t 2 como sendo positivo ou negativo fazendo ± 9 - 3 t 2

y - 2 = ± 9 - 3 t 2

y = ± 9 - 3 t 2 + 2

Com isso, podemos obter uma parametrização da elipse que encontramos dado que x = t e y = ± 9 - 3 t 2 + 2   .

C = t , ± 9 - 3 t 2 + 2

Essa equação é a projeção da intersecção das superfícies no plano x y . Se plotarmos essa equação, temos

Com isso, obtemos também o gráfico da intersecção de S 1 com S 2 !

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

C = t , ± 9 - 3 t 2 + 2

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