Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

b) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1 , x = 4 , y = 0 e pelo gráfico y = x .

Passo 1

Ooii galerinha do bem, tudo tranquilo com vocês?

O enunciado nos dá um conjunto A no plano x y (que nada mais é do que uma região), limitado pelas curvas:

x = 1 x = 4 y = 0 y = x

Precisamos desenhar essa região e calcular a sua área.

Vocês lembram como podemos calcular essa área?

Basta usarmos a própria definição da integral, que representa a área abaixo de uma curva f ( x ) em um intervalo de a ≤ x ≤ b :

A A =   ∫ a b f x d x

Prontinho, agora que já revisamos, vamos colocar a mão na massa! Primeiro desenhamos a região e depois calculamos a sua área através da integral.

Passo 2

Como vimos no passo anterior, o conjunto A é uma região no plano x y limitado por:

x = 1 x = 4 y = 0 y = x

x = 1 e x = 4 são duas retas verticais passando por ( 1,0 ) e ( 4,0 ) respectivamente.

y = 0 é o próprio eixo x .

Já a curva x tem um formato do tipo:

Juntando todas essas curvas em um mesmo gráfico, podemos identificar a região Ω que representa a o conjunto A , como:

Perfeito 😊

Passo 3

Agora precisamos apenas calcular a área que representa essa região. Lembrando que:

A A =   ∫ a b f x d x

E aqui temos x no intervalo 1 ≤ x ≤ 4 , e que a região Ω é a curva abaixo de y = x , temos f x = x . Portanto:

A A =   ∫ 1 4 x d x

= ∫ 1 4 x 1 2 d x

Usando que:

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 a b

Temos:

A A = x 3 2 3 2 1 4

= 2 3 4 3 2 - 1 3 2

= 2 3 ⋅ 8 - 1

Por fim:

A A = 14 3

Aeee, conseguimos!! Boa pessoal 😊

Resposta

14 3

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