Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

f) A é a região do plano compreendida entre o eixo O x e o gráfico de y = x 2 - x , com 0 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Oi oi oi galera, quem aí tá preparado pra matar mais uma questãozita?

Aqui temos uma região A , que está abaixo da curva:

y = f x = x 2 - x

no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 .

Precisamos desenhar a região A , bem como calcular a sua área.

Vocês lembram como podemos calcular essa área?

Basta usarmos a própria definição da integral, que representa a área entre uma curva f ( x ) e o eixo O x , no intervalo de a ≤ x ≤ b :

A A =   ∫ a b | f x | d x

Prontinho! Mãos à obra!!

Passo 2

Bom, essa nossa curva:

y = f x = x 2 - x

É a equação de uma parábola. Sempre que precisamos desenhar esse tipo de curva, é legal conhecermos onde estão as suas raízes. Assim:

x 2 - x = 0

x x - 1 = 0

Logo, temos duas raízes:

x 1 = 0

x 2 = 1

A nossa região A está justamente entre a parábola e o eixo O x no intervalo [ 0,2 ] . Assim, podemos desenhá-la:

Prontinho, a nossa região A é a união de A 1 e de A 2 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região A .

Como vimos no passo 1 , a área entre uma curva e o eixo x é dada por:

∫ a b | f x | d x

Na região A 1 , temos f x ≤ 0 , logo:

A A 1 =   ∫ 0 1 - ( x 2 - x )   d x

Já na região A 2 , temos f x ≤ 0 , logo:

A A 2 =   ∫ 1 2 ( x 2 - x )   d x

Assim, a área total A , vale:

A A = A A 1 + A A 2

=   - ∫ 0 1 x 2 - x d x + ∫ 1 2 x 2 - x d x

Usando que:

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 a b

Temos:

A A = - x 3 3 - x 2 2 0 1 + x 3 3 - x 2 2 1 2

= - 1 3 - 1 2 + 2 3 3 - 2 2 2 - 1 3 - 1 2

= 1 6 + 4 6 + 1 6

Portanto:

A A = 6 6 = 1

E, é isso gente! Obrigado pela atenção 😊

Resposta

1

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