Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

j) A é o conjunto de todos ( x , y ) tais que x ≥ 0 e x 3 ≤ y ≤ x .

Passo 1

Eaí povo, tudo na paz?

Temos aqui um conjunto A , que é uma região que possui todos os pontos que obedecem às seguintes desigualdades:

x ≥ 0 x 3 ≤ y ≤ x

Precisamos desenhar A e calcular a sua área.

Alguma ideia de como fazer isso?

Pra desenhar a região, quando ela é definida por várias desigualdades, a ideia é analisar cada uma delas vendo suas implicações na limitação geométrica da região.

Já para o cálculo da área, devemos usar que a área entre uma curva determinada por f ( x ) e o eixo x é dada por:

A = ∫ a b | f x | d x

Massa! Então vamos lá, mãos à obra 😊

Passo 2

Começando pelo desenho da área A , vemos que a região é determinada por:

x ≥ 0 x 3 ≤ y ≤ x

A primeira desigualdade significa que nossa região está à direita do eixo y .

Temos também que:

x 3 ≤ y ≤ x

Ou seja, os pontos que nos interessam são aqueles que estão limitados pelas curvas:

y = x 3 y = x

Suas intersecções ocorrem em:

x 3 = x

x 3 - x = 0

x x 2 - 1 = 0

Logo:

x 1 =   - 1 x 2 = 0 x 3 = 1

Como temos x ≥ 0 , apenas as duas últimas intersecções nos interessam.

y = x é uma reta que passa pela origem.

y = x 3 é a curva do polinômio cúbico.

Plotando tudo isso no mesmo gráfico, temos:

Excelente!

Passo 3

Agora vamos calcular a sua área!

Puts, a fórmula que a gente viu relaciona a área entre uma curva e o eixo x , mas aqui temos que calcular a área entre duas curvas. O que fazemos?

Calma aí galera! Podemos usar uma ideia de superposição, ou de subtração entre áreas.

Se analisarmos bem, a nossa área A é a subtração da área abaixo da reta y = x e acima do eixo x , pela área abaixo da curva y = x 3 e acima do eixo x . Essas duas áreas sabemos como calcular!

Portanto:

A A =   ∫ 0 1 x d x - ∫ 0 1 x 3 d x

Usando que:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Vem:

A A = x 2 2 0 1 - x 4 4 0 1

= 1 2 2 - 1 4 4

Portanto:

A A = 1 4

Ufaaaa! Terminamos. Vamo pra próxima 😊

Resposta

1 4

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