Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

c) A é o conjunto de todos ( x , y ) tais que x 2 - 1 ≤ y ≤ 0 .

Passo 1

Oláaaa, todo mundo animadoo? Vamo lá!!!

Temos um conjunto A , que basicamente é uma região no plano x y , dos pontos que obedecem a equação:

x 2 - 1 ≤ y ≤ 0

Essa equação lembra vocês de alguma curva conhecida?

Se analisarmos essas desigualdades separadamente, fica mais fácil de enxergar:

x 2 - 1 ≤ y

é a equação de uma parábola. Queremos os pontos acima (ou em cima) da parábola, mas que ainda obedeçam a y ≤ 0 .

Massa! Esse é o nosso conjunto A . O enunciado nos pede para desenhar a região desses pontos e calcular a sua área. Então vamo lá?!

Passo 2

Pra desenhar essa região que representa o conjunto A , vamos começar esboçando a parábola.

Primeiro vamos calcular as suas raízes para aí sim esboçá-la:

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

∴ x =   ± 1

Além disso, quando x = 0 , y =   - 1 . Assim:

Como comentamos no passo anterior, pela desigualdade do enunciado, temos também:

y ≤ 0

Assim, os pontos que estão acima dessa parábola, mas ainda são não-positivos, formam a região:

Perfeito! Conseguimos desenhar a nossa região 😊

Passo 3

Agora vamos calcular a área de A . Para fazer isso, devemos lembrar que a área entre uma curva e o eixo x é dada por:

A =   ∫ a b f x d x

Se f ( x ) for menor do que 0 no intervalo [ a , b ] , então teremos:

A =   ∫ a b - f x d x

Como nesse caso a curva f ( x ) é justamente a parábola f x = y = x 2 - 1 , e que pela outra desigualdade que lhe descreve:

y ≤ 0

é não-positiva na região Ω , vamos utilizar justamente a expressão com o sinal negativo. Além disso, essa região está no intervalo entre as raízes da parábola, ou seja:

- 1 ≤ x ≤ 1

Assim, escrevendo a integral:

A A =   ∫ - 1 1 - x 2 - 1 d x

Como a integral da soma é a soma das integrais:

A A =   ∫ - 1 1 - x 2 d x + ∫ - 1 1 1 d x

Usando que:

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 a b

Temos:

A A = - x 3 3 - 1 1 + x - 1 1

= - 1 3 3 + - 1 3 3 + 1 - - 1

=   - 2 3 + 2

Portanto:

A A = 4 3

Uhuuul! Matamos mais uma questão!

Espero que vocês tenham entendido beeem direitinho, até a próxima pessoal 😊

Resposta

4 3

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