Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Ache a área da região limitada pelos gráficos de y = sin 4 ⁡ ( x ) , y = cos 3 ⁡ ( x ) , x = 0 e x = π / 4 .

Passo 1

Oiie, tudo bem? Vamos resolver mais uma questãozinha?

Vamos primeiro dar uma olhadinha em nossa região! Ela é a seguinte:

A curva azul está relacionada ao cos 3 ⁡ ( x ) e a curva verde é o sin 4 ⁡ ( x ) . As linhas verticais vermelha ( x = 0 ) e laranja ( x = π / 4 ) irão nos indicar os limites de integração necessários! Mas como calcularemos esta integral?

Passo 2

Temos que a integração pode ser realizada considerando a diferença:

A = ∫ 0 π / 4 cos 3 ⁡ ( x ) d x - ∫ 0 π / 4 sin 4 ⁡ ( x ) d x

Porque a diferença?

É que a integral de uma curva dá a área de baixo da curva. E nós queremos a área embaixo da curva azul, mas não queremos a área embaixo da curva verde (que está inclusa na área da azul). Então vamos subtrair esse pedacinho embaixo da curva verde.

Para resolver estas integrais vamos utilizar as seguintes relações:

cos 2 ⁡ x = 1 - sin 2 ⁡ x           ( 1 )

E também que:

sin 2 ⁡ ( x ) = 1 2 1 - sin ⁡ 2 x           ( 2 )

Vamos lá então!

Passo 3

Primeiro, vamos reescrever um tequinho nossa integral! Temos:

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x cos 2 ⁡ x d x - ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x

Se usarmos agora a equação (1) e (2), obtemos:

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x 1 - sin 2 ⁡ x d x - 1 4 ∫ 0 π 4 1 - sin ⁡ 2 x 1 - sin ⁡ 2 x d x

A = ∫ 0 π / 4 cos ⁡ ( x ) d x - ∫ 0 π 4 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x - 1 4 ∫ 0 π 4 d x + 1 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ 2 x d x - 1 4 ∫ 0 π / 4 sin 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Ficou bem grandinho, neh? Mas agora podemos resolver algumas diretamente, e outras através de uma mudança de variáveis! Saca só!

Passo 4

Primeiro, usando a equação (2) mais uma vez, temos:

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x d x - ∫ 0 π 4 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x - 1 4 ∫ 0 π 4 d x + 1 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ 2 x d x + →

→ - 1 8 ∫ 0 π / 4 ( 1 - sin ⁡ ( 4 x ) ) d x

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x d x - ∫ 0 π 4 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x - 1 4 ∫ 0 π 4 d x + 1 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ 2 x d x + →

→ - 1 8 ∫ 0 π 4 d x + 1 8 ∫ 0 π / 4 sin ⁡ ( 4 x ) d x

Precisamos ainda fazer uma mudança de variáveis na segunda integral em A , que é a que não está em um bom formato ainda! Vamos fazer isso antes de continuar!

Passo 5

Se fizermos a mudança u = sin ⁡ ( x ) e d u = cos ⁡ ( x ) d x , e avaliando os limites de integração, temos:

u = 0 ,     x = 0

E também:

u = 2 2 ,     x = π / 4

Ou seja, temos que:

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x d x - ∫ 0 2 2 u 2 d u - 1 4 ∫ 0 π 4 d x + 1 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ 2 x d x + →

→ - 1 8 ∫ 0 π 4 d x + 1 8 ∫ 0 π / 4 sin ⁡ ( 4 x ) d x

Beleza! Agora podemos resolver todas elas de uma só vez!! Saca só!

Passo 6

Vamos utilizar as seguintes integrais:

∫ a b cos ⁡ ( c x ) d x = sin ⁡ ( c x ) c ​ a b = sin ⁡ ( c b ) - sin ⁡ ( c a ) c           ( 3 )

∫ a b sin ⁡ ( c x ) d x = - cos ⁡ c x c ​ a b = - cos ⁡ c b - cos ⁡ c a c           ( 4 )

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 ​ a b = b n + 1 - a n + 1 n + 1           ( 5 )

∫ a b d x = x ​ a b = b - a           ( 6 )

Vamos com calma! Precisamos aplicar todas as quatro equações onde forem convenientes! Bora que bora!

Passo 7

Temos que:

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x d x - ∫ 0 2 2 u 2 d u - 1 4 ∫ 0 π 4 d x + 1 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ 2 x d x + →

→ - 1 8 ∫ 0 π 4 d x + 1 8 ∫ 0 π / 4 sin ⁡ ( 4 x ) d x

A = sin ⁡ ( π / 4 ) - sin ⁡ ( 0 ) - 1 3 2 2 3 - 0 3 - 1 4   π 4 - 0 + 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 π 4 - cos ⁡ ( 0 ) + →

→ - 1 8 π 4 - 0 + 1 8 - 1 4 cos ⁡ 4 π 4 - cos ⁡ 0

Agora é colocar a calculadora para trabalhar! Ahahahah, mas vou ser bonzinho e te dar alguns valores importantes! Siga comigo!

Passo 8

Usando que sin ⁡ ( π / 4 ) = 2 2 , sin ⁡ ( 0 ) = 0 , cos ⁡ π 2 = 0 , cos ⁡ ( 0 ) = 1 , cos ⁡ ( π ) = - 1 , temos:

A = 2 2 - 1 3 2 2 8 - π 16 + 1 2 - π 32 - 1 32 - 2

A = 5 2 12 - 3 π 32 + 9 16

Poderíamos jogar isso na calculadora! Mas não tem porquê! Feshow!!! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

A = 5 2 12 - 3 π 32 + 9 16

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