Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp 478 –30a

Eis um desenho esquemático da redoma de 90 pés usada pelo Serviço Meteorológico Nacional dos Estados Unidos para abrigar um radar em Bozeman, Montana.

Se a redoma fosse pintada, qual a área da superfície que receberia tinta (sem contar a base)?

Passo 1

Queremos a área da superfície de revolução dada na figura. Primeiro temos que achar qual é a função que deu origem a essa superfície de revolução. Sabemos que o raio da redoma é R = 45   p é s .

Repara que temos a parte de uma esfera. A esfera vai ser a rotação de uma circunferência.

Então temos que achar a equação da circunferência que gera essa esfera

A equação de uma circunferência é dada por:

x 2 + y 2 = R 2

Nesse caso, R = 45

x 2 + y 2 = 45 2

Vamos considerar o eixo y sendo aquele eixo do desenho e o eixo x passando pelo centro.

Agora olha bem para o desenho que ele deu. Essa superfície foi gerada pela rotação da circunferência com y indo de - 22,5 até 45 .

Então vamos rodar

x 2 + y 2 = 45 2

Com

- 22,5 ≤ y ≤ 45

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Passo 2

Novamente, temos que utilizar aquela fórmula espertinha para calcular a área de uma superfície de revolução, gerada pela rotação de uma função em torno do eixo y .

S =   ∫ c d 2 π x   1 + g ´ y 2 d y = ∫ c d 2 π g ( y )   1 + g ´ y 2   d y

A função que está sendo rotacionada é a função g y =   45 2 - x 2 . Achamos essa função isolando o y na equação da circunferência.

O nosso intervalo de integração será de - 22,5 a 45 . Então temos:

Temos g y =   45 2 - y 2 → g ´ y = - 1 2 2 y   45 2 - y 2 - 1 2 = - y 45 2 - y 2 - 1 2

g ´ y 2 = y 2   45 2 - y 2 - 1 = y 2 45 2 - y 2

S = ∫ - 22,5 45 2 π x   1 + y 2 45 2 - y 2   d y

S = ∫ - 22,5 45 2 π 45 2 - y 2   1 + y 2 45 2 - y 2   d y

Passo 3

Para resolver essa integral, vou fazer o seguinte:

S = ∫ - 22,5 45 2 π 45 2 - y 2 1 + y 2 45 2 - y 2   d y

S = ∫ - 22,5 45 2 π 45 2 - y 2 + y 2     d y

S = ∫ - 22,5 45 2 π 45 2     d y

S = ∫ - 22,5 45 2 π   45     d y

S = 90 π . y 22,5 45 = 90 π 45 - - 22,5 = 6075   π   p é s 2

Resposta

S = 6075   π   p é s 2

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