Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

( f )   y = 1 - x 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ; em torno do eixo y .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós temos que determinar a área da superfície de revolução gerada pela curva

y = 1 - x 2 ; 0 ≤ x ≤ 1

quando rotacionada em torno do eixo y . Por sorte, temos uma formulinha que faz exatamente isso, é a seguinte

A = ∫ y 0 y f 2 π g ( y ) 1 + [ g ' ( y ) ] 2 d y

no entanto a nossa questão nos dá uma função y = f ( x ) , mas isso é fácil de resolver, vamos isolar x em nosso enunciado para obter

x = g ( y ) = 1 - y

Agora, é só ver os limites de integração e calcular o que se pede! Vamos lá!

Passo 2

A derivada de nossa função é bastante simples, temos uma soma de exponenciais, portanto

d g d y = g ' [ y ] = - 1 2 1 - y

se elevarmos ao quadrado, temos que

[ g ' ( y ) ] 2 = 1 4 ( 1 - y )

Substituindo então em nossa integral, recalculando os novos limite de integração

A = 2 π ∫ 0 1 1 - y 1 + 1 4 ( 1 - y ) d y

podemos simplificar essa expressão juntando ambas as raízes

A = 2 π ∫ 0 1 1 - y + 1 4 d y = 2 π ∫ 0 1 5 4 - y d y

Essa integral é bastante simples! Mas vamos fazer uma pequena substituição apenas para deixar a sua aparência mais simpática (você não precisa realmente fazer a substituição, mas é bem útil!) Vem comigo!

Passo 3

Se fizermos a substituição

u = 5 4 - y e d u = - d y

podemos deixar a nossa integral com uma carinha mais simpática

A = - 2 π ∫ u ( 0 ) u ( 1 ) u d u

como temos que u ( 0 ) = 5 / 4 e u ( 1 ) = 1 / 4 , de forma que temos que resolver

A = - 2 π ∫ 5 / 4 1 / 4 u   d u

podemos resolver isso diretamente, e obter

A = - 2 π [ u 3 / 2 3 / 2 ] | 5 / 4 1 / 4 = - 4 π 3 [ ( 1 4 ) 3 / 2 - ( 5 4 ) 3 / 2 ]

ou simplesmente

A = - 4 π 3 [ 1 32 - 5 5 32 ] = π 24 [ 5 5 - 1 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = π 24 [ 5 5 - 1 ]

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