Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

o) A é o conjunto de todos os pontos ( x ,   y ) tais que x 2 - 1 ≤ y ≤ x + 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um conjunto de pontos ( x ,   y ) que estão entre a reta x + 1 e a parábola x 2 - 1 , e pediu pra gente desenhar esse conjunto e calcular a área dele. Por onde a gente começa?

Vamos começar desenhando a parábola y = x 2 - 1 , acrescentar a reta y = x + 1 , encontrar os pontos de intersecção das duas curvas e calcular a área requerida usando uma integral definida.

Então, vamos lá!

Passo 2

A nossa parábola y = x 2 + 1 está deslocada em uma unidade para baixo, então a gente tem isso aqui:

Beleza, agora vamos plotar a reta y = x + 1 , que também passa por 1 no eixo y quando x = 0 . Assim,

Repara que as nossas curvas se encontram em x = - 1 e em x = 2 no gráfico. A gente também pode verificar isso fazendo:

x 2 - 1 = x + 1

x 2 - x - 2 = 0

Vamos calcular as raízes dessa equação pra encontrar os pontos de interseção:

x = 1 ± 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ ( - 2 ) 2 ∙ 1 = 1 ± 1 + 8 2 = 1 ± 3 2

Então, temos:

x 1 = 2

x 2 = - 1

Como a gente tinha visto no gráfico. Então, tudo certo, esses são nossos pontos de interseção e é nesse intervalo que nós vamos integrar para encontrar a área A .

Passo 3

Vamos montar nossa integral:

A = ∫ - 1 2   x + 1 - ( x 2 - 1 ) d x

A = ∫ - 1 2 x - x 2 + 2   d x

Integrando, temos:

A = x 1 + 1 1 + 1 - x 2 + 1 2 + 1 + 2 x - 1 2

A = x 2 2 - x 3 3 + 2 x - 1 2

Substituindo os intervalos de integração:

A = 2 2 2 - 2 3 3 + 2 ( 2 ) - - 1 2 2 - - 1 3 3 + 2 ( - 1 )

A = 2 - 8 3 + 4 - 1 2 - 1 3 + 2

A = 9 2  

E encontramos nossa área!

Até a próxima, galera! 😉

Resposta

A = 9 2  

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