Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

i) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0 ,   x = π ,   y = 0 e pelo gráfico de y = cos ⁡ x .

Passo 1

Eaí galera, tudo tranquilo?

Nessa questão temos uma região A que é limitada pelas curvas:

x = 0   ( e i x o   y ) x = π y = 0   e i x o   x y = cos ⁡ x

Sobre essa região precisamos desenhá-la e calcular a sua área.

Para calcular a área de uma região podemos usar o recurso da integral. Pois, a área entre uma curva e o eixo x é dada por:

A =   ∫ a b | f x | d x

Então, vamos começar esboçando a área dessa região e depois calculamos a sua área através da integral.

Passo 2

Temos que a nossa região é limitada por:

x = 0   ( e i x o   y ) x = π y = 0   e i x o   x y = cos ⁡ x

As retas x = 0 e y = 0 representam os eixos y e x , respectivamente,

x = π é uma reta vertical que passa por ( π , 0 ) .

E, y = cos ⁡ x é nossa famosa função trigonométrica.

Esboçando todas elas em um mesmo gráfico, temos:

Prontinho, a nossa região A é a união de A 1 e A 2 .

Passo 3

Para calcular a sua área basta usarmos o recurso da integral:

A =   ∫ a b | f x | d x

Como a nossa região A , ora possui f x = cos ⁡ x positiva, ora negativa, no intervalo [ 0 , π ] , vamos dividir o seu cálculo. Fazendo:

A A = A A 1 + A A 2  

Na região A 1 , que vai de 0 a π / 2 , temos cos ⁡ x ≥ 0 . Assim:

A A 1 =   ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x

Já na região A 2 , que vai de π / 2 a π , temos cos ⁡ x ≤ 0 . Logo:

A A 2 =   ∫ π 2 π - cos ⁡ x d x

Juntando:

A A = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x - ∫ π 2 π cos ⁡ x d x  

= s e n   x 0 π 2 - s e n   x π 2 π

= 1 - 0 - 0 - 1

Logo:

A A = 2

E é isso gente! Agora vamo dar aquela pausa pra beber uma água, tomar um café, e já volta com tudo no próximo item 😊

Resposta

2

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