Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

d) x = cos ⁡ t ,   y = 2 + s e n   t , com 0 ≤ t ≤ 2 π , eixo x

Passo 1

Faaaaala galera, tudo tranquilo com vocês?

Nessa questão temos uma curva parametrizada que é dada por:

x = cos ⁡ t y = 2 + s e n   t

formada no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π .

Daí, pegamos essa curva e rotacionamos em torno do eixo x , obtendo uma superfície de revolução.

O objetivo do exercício é calcular a área dessa superfície.

O grande problema aqui é que a curva foi dada parametrizada, nesses casos, o que podemos fazer pra calcular a área da superfície de revolução?

Então pessoal, quando nos é dada a equação da curva na forma parametrizada, podemos usar a seguinte expressão para o cálculo da área da superfície de revolução em torno do eixo x :

A x = 2 π ∫ t 1 t 2 y ⋅ d x d t 2 + d y d t 2 d t

Massa!! Ou seja, basicamente precisamos calcular as derivadas das componentes em x e em y , e depois é só aplicar nessa integral. Bora lá?

Passo 2

A nossa curva parametrizada é dada por:

x = cos ⁡ t y = 2 + s e n   t

Assim, derivando cada uma dessas componentes em relação a t , temos:

d x d t = ( cos ⁡ t ) '

=   - s e n   t

Agora a componente em y :

d y d t = 2 + s e n   t '

Como a derivada da soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é sempre nula, temos:

d y d t = cos ⁡ t

Show de bola! Vamos então pra nossa integral!

Passo 3

Como vimos no passo 1 , para calcular a nossa área precisamos usar a integral:

A x = 2 π ∫ t 1 t 2 y ⋅ d x d t 2 + d y d t 2 d t

No enunciado é falado que a curva está no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π . Portanto:

t 1 = 0 t 2 = 2 π

Além disso, vimos no passo anterior que:

d x d t =   - s e n   t d y d y = cos ⁡ t

E, lembrando que y = 2 + s e n   t , substituindo na integral de A x teremos:

A x = 2 π ⋅ ∫ 0 2 π 2 + s e n   t ⋅ - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 d t

= 2 π ⋅ ∫ 0 2 π 2 + s e n   t ⋅ s e n 2   t + cos 2 ⁡ t d t

Maaaaas, lembram da relação fundamental da trigonometria? Por ela, temos:

s e n 2   t + cos 2 ⁡ t = 1

Logo, substituindo na nossa integral teremos:

A x = 2 π ⋅ ∫ 0 2 π 2 + s e n   t ⋅ 1 d t

A x =   2 π ⋅ ∫ 0 2 π 2 + s e n   t d t

Excelente! Agora é só calcularmos essa integral.

Passo 4

Pra finalizar nossa questão, vamos calcular:

A x =   2 π ⋅ ∫ 0 2 π 2 + s e n   t d t

Como a integral da soma é a soma das integrais, temos:

A x = 2 π ⋅ ∫ 0 2 π 2 d t + 2 π ⋅ ∫ 0 2 π s e n   t ⋅ d t

Assim, usando que:

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 a b

E, também a integral tabelada do s e n   t , temos:

A x = 2 π ⋅ 2 x 0 2 π + 2 π ⋅ - cos ⁡ t 0 2 π  

= 2 π ⋅ 4 π + - cos ⁡ 2 π + cos ⁡ 0

= 2 π ⋅ 4 π + - 1 + 1

Portanto:

A x = 8 π 2

Uhuuul! É isso, terminamos galera.

Conseguiram entender bem a solução? Responde Aí!

Resposta

8 π 2

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