Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp 477 –20

Determine as áreas das superfícies geradas pela rotação da curvas em torno dos eixos indicados.

x = 2 y - 1 ,     5 8 y 1 ,     e i x o   y

Passo 1

Queremos a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva x = 2 y - 1 em torno do eixo y no intervalo 5 8 y 1 . A função é derivável em todo o intervalo.

Portanto, tudo o que temos que fazer é utilizar aquela fórmula esperta de área usada para quando queremos a área da superfície lateral quando temos uma rotação em torno do eixo y :

S =   c d 2 π x   1 + g ´ y 2 d y = c d 2 π g ( y )   1 + g ´ y 2   d y

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Passo 2

Vamos achar os elementos da integral.

Temos

g y =   2 y - 1 g ´ y = 2   . 1 2 2 y - 1 - 1 2 = 2 y - 1 - 1 2

g ´ y 2 = 2 y - 1 - 1 = 1 2 y - 1

S = 5 8 1 2 π x   1 + 1 2 y - 1   d y

S = 5 8 1 2 π 2 y - 1   1 + 1 2 y - 1   d y

Passo 3

Agora temos que resolver essa integral aí.

Olha só o que eu vou fazer. Vou juntar os dois termos que estão dentro da raiz:

S = 5 8 1 2 π 2 y - 1 1 + 1 2 y - 1   d y

S = 5 8 1 2 π 2 y - 1 + 1   d y

S = 5 8 1 2 π 2 y   d y

S = 2 π 2 5 8 1 y 1 2   d y

S = 2 π 2 . 2 3 y 3 2 5 / 8 1

S = 4 π 2 3   1 3 2 - 5 8 3 2 = 4 π 2 3 1 - 5 3 2 8 3   2  

Vamos dar uma arrumada nesse valor

S = 4 π 2 3 1 - 5 2 . 5   2 2 3 3 2 = 4 π 2 3 1 - 5   5 2 9 2 =     4 π 2 3 1 - 5   5 2 8 . 2 2    

S = 4 π 2 3 1 - 5   5 2 4 . 2 =     4 π 2 3 1 - 5   5 16 2

S = 4 π 2 3 16 2 - 5 5 16 2

S = π 12 16 2 -   5 5

Resposta

S = π 12 16 2 -   5 5 u . a .

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