Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

a) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1 ,   x = 3 ,   pelo eixo O x e pelo gráfico y = x 3 .

Passo 1

Faaaala povo bonito, tudo bem?

O enunciado nos descreveu um conjunto A , que nada mais é do que uma região no plano x y . Ela é limitada por:

x = 1 x = 3 y = 0   ( e i x o   O x ) y = x 3

Precisamos desenhar essa região e depois calcular a sua área.

Vocês lembram como calculamos área abaixo de uma função f ( x ) ?

É justamente o significado da nossa querida integral:

A =   ∫ a b f x d x

Então vamos lá! Primeiro desenhamos a região e depois calculamos a integral.

Passo 2

Nossa região que representa o conjunto A é limitada por:

x = 1 x = 3 y = 0   ( e i x o   O x ) y = x 3

x = 1 e x = 3 são equações de retas verticais, que passam por 1,0 e ( 3,0 ) , respectivamente. Já y = 0 , como dito no enunciado, é o próprio eixo x .

Por fim, a curva y = x 3 é o gráfico de um polinômio de grau 3 .

Fazendo um esboço de todas essas curvas, temos:

Prontinho, a região que representa o conjunto A é justamente a região Ω 😊

Passo 3

Por fim, como ela é a região abaixo da curva y = x 3 no intervalo 1 ≤ x ≤ 3 , podemos montar a seguinte integral pra representar a sua área:

A A =   ∫ 1 3 x 3 d x

Usando que:

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 a b

Temos:

A A = x 4 4 1 3

= 3 4 4 - 1 3 4

= 81 - 1 4 = 80 4

Portanto, finalizandooo:

A A = 20

Prontinho galera, é isso aí 😊 Valeu pela atenção!!

Resposta

20

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