Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

g) A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y =   3 - 2 x - x 2 , com - 1 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo beleza?

Precisamos desenhar e calcular a área da região que representa o conjunto A . Esse conjunto contém todos os pontos entre a parábola:

y = 3 - 2 x - x 2

e o eixo x , no intervalo - 1 ≤ x ≤ 2 .

Alguma ideia pra calcular essa área A ?

Para fazer isso, devemos lembrar que a área entre uma curva e o eixo x é dada por:

A =   ∫ a b f x d x

Se f ( x ) for menor do que 0 no intervalo [ a , b ] , então teremos:

A =   ∫ a b - f x d x

Show! Vamos começar desenhando a parábola e depois usamos a integral para calcular sua área.

Passo 2

Como comentamos no passo anterior, a região do conjunto A está entre uma parábola e o eixo x . Essa parábola tem equação:

y = f x = 3 - 2 x - x 2

Já que o termo que multiplica x 2 é negativo, a parábola está virada para baixo. Para desenhá-la, vamos antes buscar encontrar as raízes:

3 - 2 x - x 2 = 0

Por bháskara, para um polinômio do tipo:

a x 2 + b x + c = 0

Temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Usando essa expressão na nossa equação do 2 ° grau:

x = 2 ± 4 - 4 ⋅ - 1 ⋅ 3 - 2

∴ x = 2 ± 4 - 2

⇒   x 1 =   - 3 x 2 = 1

Logo, esboçando a nossa parábola:

Massa! Como a nossa região de interesse está no intervalo [ - 1,2 ] , temos:

Passo 3

Para calcular a sua área, como no intervalo [ - 1,2 ] a curva assume valores positivos em A 1 e negativos em A 2 , devemos usar que:

A A = A 1 + A 2

Lembrando do que comentamos no passo 1 :

A =   ∫ a b f x d x

Vamos ter:

A 1 =   ∫ - 1 1 3 - 2 x - x 2 d x

E:

A 2 =   ∫ 1 2 - 3 - 2 x - x 2 d x

Logo:

A A = ∫ - 1 1 3 - 2 x - x 2 d x + ∫ 1 2 - 3 - 2 x - x 2 d x  

Como a integral da soma é a soma das integrais, e usando que:

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 a b

Vem:

A A = 3 x - 1 1 - x 2 - 1 1 - x 3 3 - 1 1 - 3 x 1 2 - x 2 1 2 - x 3 3 1 2

Substituindo os limites de integração:

= 3 ⋅ 1 - 3 ⋅ - 1 - 1 2 - - 1 2 - 1 3 3 - - 1 3 3

- 3 ⋅ 2 - 3 ⋅ 1 - 2 2 - 1 2 - 2 3 3 - 1 3 3

= 6 - 0 - 2 3 - 3 - 3 - 7 3

Portanto:

A A =   16 3 + 7 3

A A = 23 3

Uhuuul! Terminamos. Vocês curtiram? Responde Aí!

Resposta

23 3

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