Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

h) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x =   - 1 , x = 2 , y = 0 e pelo gráfico de y = x 2 + 2 x + 5 .

Passo 1

Faaala pessoal!

Nessa questão temos uma região A que é limitada pelas curvas:

x = - 1 x = 2 y = 0   e i x o   x y = x 2 + 2 x + 5

Sobre essa região precisamos desenhá-la e calcular a sua área.

Para desenhá-la precisaremos analisar como essas curvas estão definindo a região. Já pra calcular a sua área precisamos lembrar do que significa uma integral. Vocês lembram?

Ela é justamente a área entre a curva f ( x ) e o eixo x .

A =   ∫ a b f x d x

Show! Então vamos lá 😊

Passo 2

As equações x =   - 1 e x = 2 representam duas retas verticais, que passam respectivamente por ( - 1,0 ) e ( 2,0 ) .

A reta y = 0 , como já comentamos, é o próprio eixo x .

Por fim,

y = x 2 + 2 x + 5

é a equação de uma parábola. Para esboçá-la junto com as outras curvas, vamos antes calcular suas raízes:

x 2 + 2 x + 5 = 0

Por bháskara, para um polinômio do tipo:

a x 2 + b x + c = 0

Temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Usando essa expressão na nossa equação do 2 ° grau:

x 1 = - 2 - 4 - 4 ⋅ 5 2 x 2 = - 2 - 4 - 4 ⋅ 5 2  

Cujas raízes são complexas, indicando que a parábola está toda acima do eixo x .

Logo, esboçando a nossa região, temos:

Prontinho!

Passo 3

Agora, vamos calcular a área através da integral.

Como comentamos anteriormente, a área entre uma curva e o eixo x é dada por:

A =   ∫ a b f x d x

Como na nossa região A , no intervalo de [ - 1,2 ] a curva está toda acima do eixo x , ou seja, f x > 0 , teremos:

A A =   ∫ - 1 2 x 2 + 2 x + 5 d x

Usando que a integral da soma é a soma das integrais e também que:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Chegamos a:

A A = x 3 3 - 1 2 + x 2 - 1 2 + 5 x - 1 2

= 2 3 3 - ( - 1 ) 3 3 + 2 2 - - 1 2 + 5 ⋅ 2 - 5 ⋅ - 1

= 3 + 3 + 15

Portanto:

A A = 21

Conseguimossss!! Até a próxima gente 😊

Resposta

21

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