Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Determine a integral que representa o volume do elipsóide gerado pela rotação da curva x 2 9 + y 2 4 = 1 ,   y ≥ 0 , em torno do eixo x .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que calcular a área superficial do sólido de revolução obtido ao rotacionar a elipse

x 2 9 + y 2 4 = 1 ,   y ≥ 0

em particular a sua parte superior, ao redor do eixo x . Calcular essa área significa resolver a integral

A = 2 π ∫ x 0 x f [ f ( x ) ] 1 - f ' [ x ] d x

em que y = f ( x ) pode ser obtido da equação da elipse! Vamos resolver isso então! Vem comigo!

Passo 2

Usando a equação da elipse e o fato que y ≥ 0 , temos que

y = f ( x ) = 1 - 4 9 x 2

Calculando a sua derivada em termos de x temos que

f ' [ x ] = - 8 9 x 2 1 - 4 9 x 2

elevando ao quadrado, temos que

f ' [ x ] 2 = 64 81 x 2 4 ( 1 - 4 9 x 2 ) = 16 x 2 81 ( 1 - 4 9 x 2 )

Vamos juntar tudo em nossa integral, temos que

A = 2 π ∫ x 0 x f 1 - 4 9 x 2 1 + 16 x 2 81 ( 1 - 4 9 x 2 ) d x

Agora é uma questão de simplificar e achar os limites de integração! Saca só!

Passo 3

Note que podemos entrar com a primeira raiz dentro da segunda de forma que podemos escrever

A = 2 π ∫ x 0 x f 1 - 4 9 x 2 + 16 x 2 81 d x = 2 π ∫ x 0 x f 1 - 20 81 x 2 d x

apenas para igualar ao gabarito, vamos tirar 4 / 81 em evidência, de forma que

A = 4 π 9 ∫ x 0 x f 81 - 5 x 2 d x

Agora só falta avaliar os limites de integração! Note que o tamanho do eixo da elipse que é ao longo do eixo x é 3 observando a equação da elipse, de forma que nossa integral é tal que

A = 4 π 9 ∫ - 3 3 81 - 5 x 2 d x = 8 π 9 ∫ 0 3 81 - 5 x 2 d x

em que a última igualdade é verdade devido a simetria de nosso elipsóide em relação aos eixos! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 8 π 9 ∫ 0 3 81 - 5 x 2 d x

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