Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

e) x = t + 2 , y = t 2 2 + 2 t , com - 2 ≤ t ≤ 2 , eixo y

Passo 1

Ooii gente, como vocês estão?

Todo mundo ansioso pra matar mais uma questão? Hahaha

Aqui, temos que calcular a área da superfície que obtemos ao rotacionar a curva parametrizada por:

x = t + 2 y = t 2 2 + 2 t       ,   - 2 ≤ t ≤ 2

em torno do eixo y . Beleza?

Mas, como podemos fazer isso? Ainda mais agora que não temos uma curva do tipo y = f ( x ) , mas sim uma curva parametrizada.

Então gente bonita, quando precisamos calcular a área gerada pela rotação de uma curva parametrizada em torno do eixo y , usamos a seguinte expressão:

A y = 2 π ⋅ ∫ t 1 t 2 x ⋅ d x d t 2 + d y d t 2 d t

Excelente! Ou seja, nossa ideia será calcular a derivada dessas componentes, montar a integral e calcular o seu resultado 😊

Passo 2

Pra começar, vamos calcular as derivadas, em relação a t , de:

x = t + 2 y = t 2 2 + 2 t       ,   - 2 ≤ t ≤ 2

Fazendo isso, teremos para x :

d x d t = t + 2 '

Como a derivada da soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é nula:

d x d t = 1 ⋅ t 0 + 0 = 1

Já para y :

d y d t = t 2 2 + 2 t '

Novamente usando que a derivada da soma é a soma das derivadas, ficamos com:

d y d t = 2 t 2 + 2 ⋅ 1 t 0

= t + 2

Perfeito!

Passo 3

Agora vamos montar a nossa integral:

A y = 2 π ⋅ ∫ t 1 t 2 x ⋅ d x d t 2 + d y d t 2 d t

Lembrando que, pelo enunciado:

- 2 ≤ t < 2

Ou seja, temos t 1 =   - 2 e t 2 = 2 .

Além disso:

x = t + 2

E, no passo anterior calculamos as derivadas

d x d t = 1 d y d t = t + 2  

Substituindo tudo na integral, teremos:

A y = 2 π ⋅ ∫ - 2 2 t + 2 ⋅ 1 2 + t + 2 2 d t

Perfeito! Agora é só calcularmos a integral 😊

Passo 4

Pra finalizar, precisamos calcular:

A y = 2 π ⋅ ∫ - 2 2 t + 2 ⋅ 1 2 + t + 2 2 d t

Puts, mas essa integral tá meio feiosa né? Será que tem algo que podemos fazer pra deixar ela mais bonitinha?

Hmmm... e se fizermos u = t + 2 ?

Hahaha, boa! Quando a gente faz isso, a cara da integral melhora um pouco. Vamos calcular algumas coisinhas antes de fazer essa mudança de variáveis:

u = t + 2

∴ d u = d t

Além disso, quando t =   - 2 , temos:

u =   - 2 + 2 = 0

E, quando t = 2 , ficamos com:

u = 2 + 2 = 2 2

Show! Vamos substituir tudo na integral:

2 π ⋅ ∫ - 2 2 t + 2 ⋅ 1 2 + t + 2 2 d t = 2 π ⋅ ∫ 0 2 2 u ⋅ 1 + u 2 d u

Nossa, melhorou bastante né? Temos:

A y = 2 π ⋅ ∫ 0 2 2 u ⋅ 1 + u 2 d u  

Agora, pra resolver essa integral ainda precisamos fazer mais uma mudança de variáveis. Vamos chamar:

v = 1 + u 2

∴ d v = 2 u d u

⇒ u d u = d v 2

Além disso, os limites de integração serão:

u → 0 ∴ v = 1 u → 2 2 ∴ v = 1 + 4 ⋅ 2

Substituindo tudo novamente na integral (já estamos acabando galeraaa, não vamos desistir agora):

2 π ⋅ ∫ 0 2 2 u ⋅ 1 + u 2 d u = 2 π ⋅ ∫ 1 9 v d v 2

∴ A y = π ⋅ ∫ 1 9 v d v

Uhuul! Caímos em uma integral cuja primitiva é tabelada bonitinha. Usando que:

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 a b

Temos:

A y = π ⋅ v 3 2 3 2 1 9

= π ⋅ 2 3 ⋅ 9 3 2 - 1 3 2

= 2 π 3 ⋅ 27 - 1

Portanto:

A y = 52 π 3

Hahaha! Conseguimos gente, vocês curtiram? Responde Aí!

Resposta

52 π 3

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