Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:

m) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0 , x = π 2 e pelos gráficos de y = sin ⁡ x e y = cos ⁡ x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um plano limitado pelas retas x = 0 , x = π 2 e pelas curvas de y = sin ⁡ x e y = cos ⁡ x . Nós precisamos plotar essas curvas e calcular a área limitada por elas.

Mas por onde começar? Vamos começar desenhando as curvas de y = sin ⁡ x e y = cos ⁡ x , acrescentar as retas x = 0 e x = π 2 , encontrar os pontos de intersecção das curvas e calcular a área requerida usando uma integral definida.

Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos plotar as curvas seno e cosseno:

A curva em vermelho é y = cos ⁡ x e, em verde, temos y = sin ⁡ x . Agora vamos acrescentar as retas e limitar nossa área horizontalmente:

Em amarelo nós temos a reta x = 0 e em azul a reta x = π 2 . Beleza, então nossa área A pode ser dividida em duas, de 0 até a interseção das curvas e da interseção até π 2 . Só falta a gente descobrir onde essas curvas se cruzam.

Passo 3

Os pontos de interseção ocorrem quando sin ⁡ x = cos ⁡ x , isso acontece quando x = π 4 (considerando o intervalo 0 , π 2 ). Então nossa região fica assim:

Repara que a curva do cosseno tá por cima, quando 0 ≤ x ≤ π 4 , mas a curva do seno fica acima quando π 4 ≤ x ≤ π 2 . Então a nossa área vai ser dada por duas integrais, considerando esses dois intervalos. Assim:

A = ∫ 0 π 2 cos ⁡ x - sin ⁡ x d x = A 1 + A 2

A = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x - sin ⁡ x d x + ∫ π 4 π 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x d x

Calculando as integrais, temos:

A = sin ⁡ x + cos ⁡ x 0 π / 4 + - cos ⁡ x - sin ⁡ x π / 4 π / 2

Aplicando os intervalos de integração:

A = sin ⁡ π 4 + cos ⁡ π 4 - sin ⁡ 0 - cos ⁡ 0 + - cos ⁡ π 2 - sin ⁡ π 2 + cos ⁡ π 4 + sin ⁡ π 4

Calculando, temos:

A = 2 2 + 2 2 - 0 - 1 - 0 - 1 + 2 2 + 2 2

A = 2 2 - 2

Ou

A = 2 ( 2 - 1 )

E encerramos o exercício! Até a próxima, galera! 😉

Resposta

A = 2 ( 2 - 1 )

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