Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp 478 –31

a) A fórmula da área de superfície foi desenvolvida sob o pressuposto de que a função f , cujo gráfico gerou a superfície, era não negativa no intervalo de integração. Para curvas que cruzam o eixo de revolução, substituímos a equação pela fórmula de valor absoluto

S = ∫ 2 π ρ d s = ∫ 2 π f x d s

Use essa equação para determina a área de superfície do cone duplo gerado pela rotação, em torno do eixo x , do segmento de reta y = x , - 1 ≤ x ≤ 2

b) Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , da curva

y = x 3 9 ,     - 3 ≤ x ≤ 3

Passo 1

a )   Queremos a área da superfície gerada pela reta y = x   em torno do eixo x no intervalo - 1 ≤ x ≤ 2 . Nesse caso, como a função assume valores negativos e positivos no intervalo, iremos considerar o seu valor absoluto. Sem pânico. Acompanha aqui comigo que eu garanto ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que usar a mesma fórmula que já utilizamos antes para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma função em torno do eixo x :

S =   ∫ a b 2 π y   1 + f ´ x 2   d x

f x = x → f ´ x = 1

f ´ x 2 = 1

S = ∫ - 1 2 2 π y   1 + 1   d x

S = ∫ - 1 2 2 π 2   y   d x

Belezinha até aí?? Então repara só. Nesse intervalo de integração, que vai de - 1 a 2 , a função y = f x = x assume valores positivos e negativos. Então ao invés de substituir y ali por x vou substituir por | x | , beleza?

S = ∫ - 1 2 2 π   2   | x |   d x

Passo 3

Para resolver, a primeira coisa que tenho que fazer é dividir os intervalos de integração:

x =   x ,   s e   x ≥ 0 - x ,   s e   x < 0

No intervalo [ - 1,0 ] , y = - x e no intervalo de [ 0,2 ] , y = x . Portanto, escrevemos:

S =   ∫ - 1 2 2 π   2 | x |   d x = 2   2   π   ∫ - 1 0 - x   d x + ∫ 0 2 x   d x

S = 2 2 π   - x 2 2 0 - 1 + x 2 2 2 0

S = 2 2 π   0 + 1 2 + 4 2 - 0

S = 2   2 π 5 2 = 5   2 π

Passo 4

b )   Queremos a área da superfície gerada pela curva y = x 3 9   em torno do eixo x no intervalo - 3   ≤ x ≤ 3 . Novamente, a função assume valores negativos e positivos no intervalo, iremos considerar o seu valor absoluto.

Passo 5

Vamos usar a nossa fórmula velha conhecida:

S =   ∫ a b 2 π y   1 + f ´ x 2   d x

f x = x 3 9 → f ´ x = 3 x 2 9 = x 2 3

f ´ x 2 = x 4 9

S = ∫ - 3 3 2 π y   1 + x 4 9   d x

Como a função assume valores positivos e negativos no intervalo, vou substituir y ali na fórmula por x 3 9

S = ∫ - 3 3 2 π x 3 9   1 + x 4 9   d x

Passo 6

Como a função é simétrica, podemos considerar o intervalo de [ 0 , 3 ] em que a função é positiva e multiplicar por 2 . Assim:

S = 2 ∫ 0 3 2 π x 3 9   1 + x 4 9   d x

Passo 7

Para resolver a integral, utilizamos substituição simples:

∫ x 3 9 1 + x 4 9 d x

u = 1 + x 4 9 → d u = 4 x 3 9   d x

x 3 9 d x = d u 4

∫ x 3 9 1 + x 4 9 d x = 1 4 ∫ u 1 2 d u

= 1 4 2 3 u 3 2 = 1 6 u 3 2

Voltando para x :

∫ x 3 9 1 + x 4 9 d x = 1 6 1 + x 4 9 3 2

Passo 8

S = 4 π ∫ 0 3 x 3 9   1 + x 4 9   d x = 4 π 1 6 1 + x 4 9 3 2 3 0

= 2 π 3 1 + 3 2 9 3 2 - 1 + 0 3 2

= 2 π 3 [ 1 + 1 3 2 - 1 ]  

= 2 π 3 [ 2 3 2 - 1 = 2 π 3 8 - 1  

Passo 9

Olha o que aconteceria se eu ignorasse as barras de erro e substituísse os limites de integração simplesmente. Eu teria:

S = ∫ - 3 3 2 π   x 3 9   1 + x 4 9   d x

S = 2 π ∫ - 3 3   x 3 9   1 + x 4 9   d x

= 2 π 1 6 1 + x 4 9 3 2 3 - 3

= π 3 1 + 3 2 9 - 1 + 3 2 9 = 0

Daria zero porque a função é simétrica!

Resposta

a )   S = 5   2 π   u . a .

b )   S = 2 π 3 [ 8 - 1 ]

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas