Calcule o comprimento de arco da função r t = 3 t i + 2 sen ⁡ 2 t j + ( 2 cos ⁡ 2 t ) k , sendo 4 ≤ t ≤ 7 .

Passo 1

Quando queremos calcular um comprimento de arco, nosso objetivo final é montar essa integral aqui:

L = ∫ a b v ( t )   d t

Ok? Vamos integrar o módulo do vetor velocidade dessa curva.

Passo 2

Como fazemos para encontrar o vetor velocidade? Precisamos derivar r ( t ) :

v t = d d t r ( t )

E lembre-se: para derivar um vetor, precisamos derivar cada uma das componentes:

v t = d d t ( 3 t   , 2 sen ⁡ 2 t ,   2 cos ⁡ 2 t )

v t = d d t 3 t , d d t 2 sen ⁡ 2 t , d d t 2 cos ⁡ 2 t

Vamos calcular cada uma dessas derivadas (precisaremos da regra da cadeia nas duas últimas):

d d t 3 t = 3

d d t 2 sen ⁡ 2 t = 2 d sen ⁡ 2 t   d   2 t . d 2 t d t = 4 . cos ⁡ ( 2 t )

d d t 2 cos ⁡ 2 t = 2 d cos ⁡ 2 t   d   2 t . d 2 t d t = - 4 . sen ⁡ ( 2 t )

Então nosso vetor velocidade é:

v t = 3   , 4 cos ⁡ 2 t ,   - 4 sen ⁡ 2 t

Passo 3

Agora precisamos achar o módulo desse vetor. Lembrando que esse módulo segue essa fórmula aqui:

( a , b , c ) = a 2 + b 2 + c 2

Aplicando isso no nosso vetor velocidade:

v ( t ) = 3 2 + 4 cos ⁡ 2 t 2 + - 4 sen ⁡ 2 t 2

v ( t ) = 9 + 16 ( cos 2 ⁡ 2 t + sen 2 ⁡ 2 t )

v ( t ) = 9 + 16 = 25 = 5

Passo 4

Agora já podemos substituir na integral para obter o comprimento de arco:

L = ∫ a b v ( t )   d t

Lembrando que t varia entre 4 e 7 .

L = ∫ 4 7 5   d t

Como a integral indefinida dessa função é 5 t :

L = 5 7 - 5 4 = 35 - 20 = 15

E esse é o comprimento do arco.

Resposta

O comprimento do arco é 15 .

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