16 - Determine o comprimento das curvas:

a) y = 1 3 x 2 + 2 3 2 de x = 0 a x = 3 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que obter o comprimento da curva y = 1 3 x 2 + 2 3 2 em que x varia de 0 até 3 . Infelizmente não podemos substituir x por 0 e por 3 e calcular a diferença entre eles, mas podemos usar um método conhecido tem ideia de qual método seja? 🤔

Sabemos obter o comprimento de uma curva parametrizada tendo r t , que é o vetor paramétrico da curva. Então se parametrizarmos a curva fazendo x t = t , y t será dado por

y t = 1 3 t 2 + 2 3 2

Com t variando de 0 a 3 , já que t = x ...

Dessa maneira o vetor paramétrico r t é dado por

r t = t ,   1 3 t 2 + 2 3 2 ,     0 ≤ t ≤ 3

Bora ver como fazemos esse cálculo? 😁

Passo 2

De maneira geral, o comprimento de uma curva parametrizada é dado por

C = ∫ t i t f r ' t d t

Já sabemos qual é r t , então o próximo passo é derivá-lo

r ' t = d t d t , d   1 3 t 2 + 2 3 2 d t

A derivada de t é obtida pelo método de derivação polinomial

d t d t = t 1 - 1 = 1

Já a derivada de 1 3 t 2 + 2 3 2 é obtida pela regra da cadeia já que se trata de uma função composta. A função de dentro, chamamos de u e é t 2 + 2 já a função de fora é dada por 1 3 u 3 2 .

Aplicando a regra da cadeia, calculamos o produto da derivada de função de dentro com a derivada da função de fora, ou seja

d   1 3 t 2 + 2 3 2 d t = d t 2 + 2 d t d   1 3 u 3 2 d u

Pelo método de derivação polinomial, temos que

d t 2 + 2 d t = 2 t 2 - 1 + 2 0 = 2 t

d   1 3 u 3 2 d u = 3 2   1 3 u 3 2 - 1 = u 1 2 2

Não podemos deixar o resultado em função de u , então voltamos u para t 2 + 2

d   1 3 t 2 + 2 3 2 d t = 2 t · t 2 + 2 2

d   1 3 t 2 + 2 3 2 d t = t t 2 + 2

Substituindo esses resultados em r ' t ...

r ' t = d t d t , d   1 3 t 2 + 2 3 2 d t

r ' t = 1 , t t 2 + 2

Bacana, não é? 🤩

Passo 3

O próximo passo é calcular o módulo de r ' t . Calculamos o módulo desse vetor do mesmo jeito que um vetor comum

r ' t = 1 2 + t t 2 + 2 2

Como a b c = a c b c , então

r ' t = 1 + t 2 t 2 + 2 2 = 1 + t 2 t 2 + 2

r ' t = 1 + 2 t 2 + t 4

Podemos simplificar nosso modulo um pouco mais completando os quadrados do polinômio 1 + 2 t 2 + t 4 . Podemos dizer que

1 + 2 t 2 + t 4 = t 2 + 1 2

Assim, substituindo em r ' t , temos

r ' t = t 2 + 1 2

r ' t = t 2 + 1

Substituindo r ' t em C e sabendo que t i = 0 e t f = 3 ...

C = ∫ t i t f r ' t d t → C = ∫ 0 3 t 2 + 1 d t

Pelo método de integração polinomial, temos que

∫ t 2 + 1 d t = t 2 + 1 2 + 1 + 1 t = t 3 3 + t

Aplicando os limites de integração

C = ∫ 0 3 t 2 + 1 d t = 3 3 3 + 3 - 0 3 3 + 0

C = 12

Assim, vemos que o comprimento da curva que estamos interessados é de 12 unidades!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

C = 12

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