16 - Determine o comprimento das curvas:

e) y = 1 - x 2 , - 1 2 ≤ x ≤ 1 2 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter o comprimento da curva dada por y = 1 - x 2 dentro do intervalo de x entre - 1 2 e 1 2 .

Para resolver esse problema temos que usar o método de obter o comprimento de curvas parametrizadas, ou seja, temos que parametrizar a curva e aplicar a fórmula.

Lembra como aplicamos esse método?? 🤔

A fórmula do comprimento da curva é dada por

C = ∫ t i t f r ' t d t

Portanto, temos que parametrizar a curva para obter o seu vetor paramétrico r t , depois temos que derivá-lo para obter r ' t e por fim calcular seu modulo para obter r ' t .

Bora começar! 😁

Passo 2

Se fizermos x t = t , a curva y t será dada por

y t = 1 - t 2

Como o vetor paramétrico é dado por r t = x t , y t , então

r t = t , 1 - t 2

Agora temos que obter a derivada de r t ...

r ' t = d t d t , d 1 - t 2 d t

A derivada de t é obtida pelo método de derivação polinomial, ou seja

d t d t = t 1 - 1 = 1

Já a derivada de 1 - t 2 é obtida pela regra da cadeia, já que essa é uma função composta. Chamando a função interna de u = 1 - t 2 e a função externa de u , a regra da cadeia consiste em calcular o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja

d 1 - t 2 d t = d 1 - t 2 d t d u d u = d 1 - t 2 d t d u 1 / 2 d u

Pelo método de derivação polinomial, temos

d 1 - t 2 d t = 1 0 - 2 t 2 - 1 = - 2 t

d u 1 / 2 d u = 1 2 u 1 2 - 1 = 1 2 u

Substituindo na derivada de 1 - t 2 ...

d 1 - t 2 d t = - 2 t 1 2 u = - t u

Não podemos deixar o resultado em função de u , então substituímos u por 1 - t 2 de volta

d 1 - t 2 d t = - t 1 - t 2

Dessa forma, substituindo os resultados em r ' t , temos

r ' t = d t d t , d 1 - t 2 d t ,     d t d t = 1 d 1 - t 2 d t = - t 1 - t 2

r ' t = 1 , - t 1 - t 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos obter o modulo do vetor r ' t . Obtemos esse vetor do mesmo modo que obtemos um vetor comum, ou seja

r ' t = 1 2 + - t 1 - t 2 2

Como a b c = a c b c , então...

r ' t = 1 + - t 2 1 - t 2 2

Simplificando...

r ' t = 1 + t 2 1 - t 2 = 1 - t 2 + t 2 1 - t 2

r ' t = 1 1 - t 2 = 1 1 - t 2

r ' t = 1 1 - t 2

Substituindo em C , lembrando que t i e t f são os limites de t que estamos interessados, ou seja, como x = t , t i = - 1 2 e t f = 1 2 .

C = ∫ t i t f r ' t d t → C = ∫ - 1 2 1 2 1 1 - t 2 d t

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de 1 1 - t 2 é igual ao a r c s e n t . Recorremos ao teorema quando não podemos obter as integrais ou derivadas por meio dos métodos convencionais...

∫ 1 1 - t 2 d t = a r c s e n t

Aplicando os limites de integração, temos

C = ∫ - 1 2 1 2 1 1 - t 2 d t = a r c s e n 1 2 - a r c s e n - 1 2

C = π 6 - - π 6 = 2 π 6

C = π 3

Ou seja, encontramos que o comprimento da curva que estávamos interessados é π / 3 unidades!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

C = π 3

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