1) Se f : a ,   b → R é uma função derivável então o comprimento da curva determinada pelo gráfico de f é dado pela integral L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x . Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.

(b) f x = 1 3 x 2 + 2 3 / 2 ,   p a r a   x ∈ [ 0 ,   3 ]

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse exercício aqui já começa soltando um monte de informações que eu tenho certeza que te fizeram pensar “nossa, o que que é isso?”. Mas calma, vamos explicar cada coisinha que está ali e seguir a partir daí!!

O enunciado começa dizendo que temos uma função derivável f : a ,   b → R . Tá, mas o que isso significa?? Essa expressãozinha só assusta, mas na verdade é bem simples. Ela está dizendo pra nós que temos uma função f que é com toda certeza derivável, e que o intervalo dessa função está entre os valores de a e b e que estes valores são reais.

Tá, a primeira parte já foi desvendada!! Depois disso, o enunciado afirma pra gente que o comprimento de uma curva determinada pelo gráfico de f é dado por uma expressãozinha: L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x . Isso aqui é exatamente o que precisamos pra encontrarmos a nossa resposta!! Basta encontrarmos esse L a partir da função f ( x ) que nos foi dada!!

Mas como vamos fazer isso? A resposta é: por partes!

Então, analisando melhor essa formulinha de comprimento L , vemos que dentro da raiz quadrada temos a derivada f ' ( x ) da função dada no enunciado ( f ( x ) ), elevada ao quadrado.

Vamos começar por isso então!!

Passo 2

A função que precisamos derivar é a que foi dada no enunciado:

f x = 1 3 x 2 + 2 3 / 2 ,     p a r a   x ∈ [ 0 ,   3 ]

Esse x ∈ [ 0 ,   3 ] significa que o x   pertence ao intervalo 0 ,   3 . Mas não precisamos disso agora então deixa essa informação guardadinha.

Para derivar a função, precisaremos usar algumas regrinhas que são padrão quando derivamos funções. Mas antes, vamos observar que aquele 1 3 ali é uma constante, e, portanto, pode ir para fora da derivada, então vamos ter que:

f ' x = x 2 + 2 3 / 2 d d x 1 3

Para derivarmos essa função, precisamos usar a regra da cadeia, já que temos uma função composta! Nós temos que a regra da cadeia se dá pelo seguinte:

h g x ' = h ' g x * g ' ( x )

Meio esquisito né? Mas calma que ela é mais simples do que parece!

Vamos começar determinando quem são os meus valores de h x e de g ( x ) :

h x = x 3 / 2 ,     g x = x 2 + 2

Então, só pra vocês entenderem melhor:

h g x = x 2 + 2 3 / 2

Fazendo sua derivada, vamos primeiro derivar h ( x ) e depois g ( x ) :

h ' x = 3 x 1 2 2

g ' x = 2 x

Agora, vamos fazer h ' g x :

h ' g x = 3 x 2 + 2 1 2 2

Então, substituindo esses valores na fórmula da regra da cadeia ali em cima, vamos ter que:

f ' x = 1 3 h g x ' = 1 3 * 3 x 2 + 2 1 2 2 * 2 x

f ' ( x ) = x x 2 + 2 1 2

Pronto! Temos a derivada da função dada no enunciado.

Bora continuar então!

Passo 3

Antes de irmos para o nosso próximo passo, vou reescrever a nossa fórmula do comprimento com a derivada encontrada no passo 2:

L = ∫ a b 1 + x x 2 + 2 1 2 2   d x

Já temos quase tudo que precisamos! Falta agora definirmos o valor dos limites de integração a e b ! Mas como vamos fazer isso? Temos que fazer mais conta?????

Nãoo! Não precisamos de mais contas!

Aqui vamos lembrar daquilo que falamos no passo 2. O enunciado definiu pra gente um intervalo para x, onde x ∈ [ 0 ,   3 ] .

Prontinho galera! Tão aí os nossos limites de integração!

Vamos reescrever então:

L = ∫ 0 3 1 + x x 2 + 2 1 2 2   d x

Passo 4

Por fim, para resolvermos a integral acima, vamos primeiramente aplicar a regra do produto a x x 2 + 2 1 / 2 :

L = ∫ 0 3 1 + x 2 x 2 + 2 1 2 2   d x

Em seguida, vamos multiplicar os expoentes:

L = ∫ 0 3 1 + x 2 x 2 + 2 1   d x

Simplificando e aplicando propriedades distributivas na expressão acima, vamos ter:

L = ∫ 0 3 1 + x 4 + 2 x 2   d x

Se observarmos bem a expressão acima, observamos que podemos reescrevê-la em uma forma fatorada:

L = ∫ 0 3 x 2 + 1 2   d x

Tirando a raiz, vamos ter que:

L = ∫ 0 3 x 2 + 1   d x

Agora é só aplicarmos a integral em cada um dos termos e vamos ter:

L = 1 3 x 3 + x 3   0  

L = 1 3 3 2 + 3 - 1 3 0 2 + 0

L = 12

Ufa!! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

L = 12

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