15 - Determine o comprimento das curvas parametrizadas:

c) x = t 3 , y = 3 t 2 2 , 0 ≤ t ≤ 3 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que calcular o comprimento de uma curva que está parametrizada. Com base nas informações dadas no enunciado, sabemos que x é igual a t 3 e que y é igual a 3 t 2 2 . Também vemos que t varia de 0 a 3 .

Como podemos obter esse comprimento com base nessas informações? 🤔🤔

Vamos montar a função vetorial que resulta na curva que queremos. Fazendo r t = x t , y t ...

r t = t 3 , 3 t 2 2

Quando temos que obter o comprimento de uma curva parametrizada, calculamos a integral do módulo de r t , ou seja

C = ∫ t 0 t f r ' t d t

Portanto C é o comprimento da curva r t !

Bora ver como fazemos no nosso caso? 😁

Passo 2

Vamos começar derivando r t com relação a t .

r ' t = d t 3 d t , d 3 t 2 2 d t

Derivando pelo método de derivação polinomial, multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo 1 do seu expoente...

d t 3 d t = 3 · t 3 - 1 = 3 t 2

d 3 t 2 2 d t = 2 · 3 t 2 - 1 2 = 3 t

Substituindo esses resultados em r ' t

r ' t = 3 t 2 , 3 t

Agora obtemos o módulo de r ' t calculando a raiz da soma dos seus termos ao quadrado.

r ' t = 3 t 2 2 + 3 t 2

Como a b c = a c b c , então

r ' t = 9 t 4 + 9 t 2

r ' t = 9 t 2 t 2 + 1

Simplificando...

r ' t = 9 t 2 t 2 + 1

r ' t = 3 t t 2 + 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Por fim, substituindo na integral sabendo que t 0 = 0 e t f = 3 .

C = ∫ t 0 t f r ' t d t → C = ∫ 0 3 3 t t 2 + 1 d t

Para essa integral, vamos fazer uma substituição de variáveis e chamar t 2 + 1 de u , assim para o limite inferior, temos

u 0 = t 2 + 1 = 3 2 + 1

u 0 = 4

Para o limite superior, temos

u f = t 2 + 1 = 0 2 + 1

u f = 1

E por último, temos que substituir d t . Fazendo d u / d t pelo método de derivação polinomial...

d u d t = d t 2 + 1 d t = 2 t

Assim, isolando t d t em um lado, temos

d u 2 = t d t

Fazendo essas substituições em C , temos que

C = ∫ 0 3 3 t t 2 + 1 d t → C = ∫ 1 4 3 u d u 2  

Tiramos a constante 3 / 2 para fora da integral

C = 3 2 ∫ 1 4 u d u

Integrando pelo método de integração polinomial somando 1 no expoente da variável e a dividindo pelo resultado dessa soma, temos

∫ u d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 = u 3 2 3 2

∫ u d u = 2 u 3 3

Legal, não é? 🤩

Passo 4

Aplicando os limites de integração nesse resultado, temos

∫ 1 4 u d u = 2 4 3 3 - 2 1 3 3 = 16 3 - 2 3

∫ 1 4 u d u = 14 3

Por fim, substituindo em C , temos que ao comprimento da curva parametrizada é dada finalmente por

C = 3 2 ∫ 1 4 u d u

C = 3 2 14 3  

C = 7

Portanto, o comprimento da curva parametrizada no intervalo dado é de 7 unidades!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

C = 7

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