Encontre a distância percorrida por uma partícula com posição ( x ,   y ) quando t varia em um intervalo de tempo nos itens abaixo. Compare com o comprimento da curva (note que a curva pode ser fechada).

a) x t = sin 2 ⁡ t , y t = cos 2 ⁡ t , para 0 ≤ t ≤ 3 π

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar a distância percorrida por uma partícula e comparar com o comprimento da curva percorrida por ela. Mas qual a diferença?

Bom, a curva completa é percorrida quando t vai de 0 até π / 2 , pois a curva é o segmento x + y = 1 que se encontra no primeiro quadrante (desde que x ,   y ≥ 0 ), e este segmento é completamente percorrido quando t vai de 0 até π / 2 .

Já a distância percorrida pela partícula, se dá quando t vai de 0 a 3 π , então nossa distância será:

D = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, é essa integral que nós vamos calcular mudando apenas os limites de integração.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a distância percorrida pela partícula:

D = ∫ 0 3 π d x d t 2 + d y d t 2 d t

Derivando temos d d t sin 2 ⁡ t = 2 sin ⁡ t cos ⁡ t e d d t cos 2 ⁡ t = 2 cos ⁡ t sin ⁡ t . Assim,

D = ∫ 0 3 π 2 sin ⁡ t cos ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t sin ⁡ t 2 d t

D = ∫ 0 3 π 8 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t d t

Reescrevendo usando identidade trigonométrica:

D = ∫ 0 3 π 2 sin 2 ⁡ 2 t d t

D = 2 ∫ 0 3 π sin ⁡ 2 t   d t

Integrando e eliminando os valores absolutos, temos:

D = 6 2

Agora o que muda para o comprimento da curva é apenas o limite de integração, vamos ter:

L = ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 t d t = 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D = 6 2

L = 2

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