Determine o comprimento das curvas parametrizadas:

b) x   =   c o s t , y   =   t   +   s e n   t , 0   ≤   t   ≤   π

Passo 1

E aí galerinha, tudo beleza com vocês por aí?

A UFCG mandou essa questão para determinarmos o comprimento de curvas parametrizadas, mas o que isso significa??

Olha só, na imagem abaixo nós temos uma curva complexa em azul e para determinar o comprimento dessa curva, podemos dividir a curva em n pedaços!!

A ideia aqui é aproximar o comprimento da curva por um comprimento de segmento de reta que é bem mais simples de resolver, dá uma espiada na imagem abaixo!

Ou sejaaa, podemos dizer que o comprimento do segmento de reta equivale a:

C = ∆ x 2 + ∆ y 2

Logo, a soma de todos esses n pedaços é o comprimento total L , e assim obtemos a nossa relação de que L é a integral da soma dos n pedaços, sendo que cada pedacinho representa uma variação em   X e outra em Y , logo:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t                                                   ( 1 )

Passo 2

Agora nós já pegamos a ideia, vamos aplicar!

Primeiro vamos determinar a derivada de x em relação à t .

d x d t = -   s e n t

E a derivada de y em relação à t .

d y d t = 1 + c o s t

Belzinhaaa, agora é só substituir na equação (1) as derivadas de x e y em relação à t e os limites de integração sendo 0   ≤   t   ≤   π .

L = ∫ 0 π -   s e n t 2 + 1 + c o s t 2   d t

Simplificando usando propriedades trigonométricas.

L = ∫ 0 π s e n 2 t + 1 + 2 c o s   t + c o s 2 t   d t

Como s e n 2 t + c o s 2 t = 1 :

L = ∫ 0 π 2   ( 1 + c o s t ) = 2 ∫ 0 π t 2   d t

Essa raiz tá dificultando, né? Mas nós podemos remover

L = 2 ∫ 0 π c o s c o s   t 2   d t

Aplicando integração por substituição.

L = 4 ∫ 0 π 2 c o s c o s   u   d u = 4 s e n   u 0 π / 2 = 4

Prontinho, encontramos o comprimento total da curva! Curtiu a resolução? Responde Aí ;)

Resposta

4

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