Encontre o comprimento de arco da curva

r t = t 3 , 2 t ,   5 ,

Quando t ∈ 0 ,   1 .

Passo 1

Antes de qualquer coisa, o que representa essa função? Sim, ela representa uma curva parametrizada no espaço!

Bem, a um primeiro momento a gente pode até se assustar com esse exercício, pois a gente não sabe trabalhar com uma curva no espaço, certo?

Mas calma, não se assuste, pois na verdade a gente vai trabalhar com ela no plano! What???? Como assim no plano? Você não acabou de dizer que ela está no espaço?

Vem comigo! :D

Passo 2

Pow, em primeiro lugar, o que significa esses três termos da parametrização r t = t 3 , 2 t ,   5 , mesmo?

Bem, se você pensar que esses termos representam um ponto do espaço x ,   y ,   z , teremos nesse caso:

x = t 3

y = 2 t

z = 5

Agora note que z = 5 é um plano paralelo ao plano X Y e toda essa curvinha está em cima dela!!!:)

Pegou a ideia? A gente sabe trabalhar com a curva no plano, mas não necessariamente no plano X Y !

Então se a gente chamar essa curva em cima desse plano z = 5 de γ t = t 3 , 2 t , basta determinar o comprimento dessa γ que o comprimento da r será o mesmo!

Passo 3

Bem, para o comprimento de uma curva no plano, basta a gente aplicar a teoria de comprimento de curva parametrizada, ou seja

C o m p r i m e n t o γ = ∫ a b x ' t 2 + y ' t 2   d t

E quem é esse a e b ?

Eles são os limites de t . No caso, como t ∈ 0 ,   1 , a = 0 e b = 1 .

Como x t = t 3 e y t = 2 t , basta calcular as derivadas e integrar.

Passo 4

Para a derivada de x com relação a t , temos aplicando a regra da cadeia

x ' t = t 3 ' =

1 2 t 3 ∙ 3 t 2

E y ' ( t ) será

y ' t = 2 t '

= 2

Passo 5

Montando a integral

∫ 0 1 x ' t 2 + y ' t 2 d t =

∫ 0 1 3 t 2 2 t 3 2 + 2 2   d t =

Elevando ao quadrado

∫ 0 1 9 t 4 4 t 3 + 4   d t =

∫ 0 1 9 t 4 + 4   d t

Se a gente fizer uma substituição simples desse termo dentro da raiz, por a

9 t 4 + 4 = a             →             d a = 9 4 d t

ou

d t = 4 d a 9

Toda vez que fazemos uma substituição, não podemos deixar de trocar os limites, ou seja:

t = 0             →               a = 9 t 4 + 4             →           a = 4                                        

t = 1             →               a = 9 t 4 + 4             →           a = 9 4 + 4 = 25 4

Agora substituindo na integral, teremos

∫ 0 1 9 t 4 + 4   d t = ∫ 4 25 4 a 4 9 d a

Constante vasa da integral

= 4 9 ∫ 4 25 4 a   d a

= 4 9 ∙ 2 3   a 3 2 4 25 4

Substituindo os limites de integração em a

8 27 25 4 3 2 - 8 27 4 3 2

Lembrando que 25 4 = 5 2 2 e 4 = 2 2

8 27 5 2 2 3 2 - 8 27 2 2 3 2

Multiplicando os expoentes

8 27 ∙ 5 3 2 3 - 8 27 ∙ 2 3 =

E efetuando as simplificações...

8 27 125 8 - 8 =

8 27 125 - 64 8 =

61 27

Resposta

C o m p r i m e n t o = 61 27

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