3) Sejam as curvas r 1 = 2 cos ⁡ 2 θ e r 2 = 1 Desenhadas em anexo. Formule, em cada caso, uma integral para calcular:

d) O comprimento de arco da rosa de 4 pétalas

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos o comprimento de arco da rosa do desenho.

Como temos equações em coordenadas polares, usaremos a fórmula do comprimento do arco para coordenadas polares:

L = ∫ a b r θ 2 + d r d θ 2 d θ

Passo 2

Antes de sair aplicando a fórmula, vamos achar quais são os valores de θ de onde as duas curvas se cruzam:

r 1 = r 2

2 cos ⁡ 2 θ = 1

cos ⁡ 2 θ = 1 2

2 θ = π 3

θ = π 6

Passo 3

Vamos fazer um desenho desses ângulos pra enxergar melhor:

Para a pétala, que a equação é r 1 = 2 cos ⁡ 2 θ , então o comprimento de cada pétala (repara que o ângulo varia de - π 6 até π 6 ) :

L 1 = ∫ - π 6 π 6 r 1 θ 2 + d r 1 d θ 2 d θ

Para o miolo, que a equação é r 2 = 1 , então o comprimento de cada partezinha entre as pétalas (repara que o ângulo varia de π 6 até π 3 ):

L 2 = ∫ π 6 π 3 r 2 θ 2 + d r 2 d θ 2 d θ

Maaaas temos 4 pétalas e 4 partes entre as pétalas, né? Então falta somar tudo:

L t o t = 4 L 1 + L 2

= 4 ∫ - π 6 π 6 r 1 θ 2 + d r 1 d θ 2 d θ + ∫ - π 6 π 6 r 1 θ 2 + d r 1 d θ 2 d θ

Resposta

4 ∫ - π 6 π 6 r 1 θ 2 + d r 1 d θ 2 d θ + ∫ - π 6 π 6 r 1 θ 2 + d r 1 d θ 2 d θ

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